16732一道课本例题的拓展改编与探究延伸

1、一道课本例题的拓展改编与探究延伸 摘要：一份好的数学试题需要几道高质量的命题，原创题固然是好的命题，但许多命题通常是通过课本例习题等其它习题拓展改编而来的。对习题进行改编不仅能对原题考查的知识结构加深理解，而且对我们掌握的知识点进行融会贯通也起到很大的促进作用，这也是我们区教研室近三年每年坚持青年数学教师改编题比赛的初衷，我也希望通过此文能让大家对如何改编例习题有一定的了解和帮助。关键词：课本例题 旋转 改编题拓展 探究 近两年来，市、区教育局教研室都鼓励数学老师对一些数学题进行改编和设计，并进行了一系列的改编题和说题比赛，普遍数学老师都认为取得了不错的效果，并对自身业务能力的提高和对初中数学

2、的知识结构了理解都有一定的帮助。笔者在改编题的过程中也体验到了改编的乐趣和对自身能力提高的帮助。对于要改编的题，首先你要研究原题，包括原题的考查点、解答过程、数学思路和数学思路等，这本身就是一个学习提升的过程；在对原题的分析和改编过程中，当我们自己的知识面越广、思路越开阔、渗入的数学思想和数学思路越多，那么此题改编的可能性越多，我们学到和体会的也就越多。例如我们通过改编题可以将整式和分式串连起来，可以将方程和函数串连起来，可以将三角形和四边形串连起来，可以将代数和几何、甚至和概率一起串连起来等等；通过对一些命题特别是中考命题的分析和改编，我们也可以了解中考命题思路和方式，抓住一些不变或变的命题

3、形式和命题规律，这样自然而然的我们对数学命题的把握能力和自身的解题能力定会逐步提高。下面就是笔者在改编题的过程中对一道课本例题的拓展改编和探究延伸。原题是人教版九年级数学第23章第1节图形的旋转 的一道例题。题目如下：如图1，是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形。此题是一道旋转作图题，通过确应各个点的对应点位置就可以得到最后图形。解答过程：因为点是旋转中心，所以它的对应点是它本身。正方形中，所以旋转后点与点重合。设点的对应点为点，因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以因此，在的延长线上取点，使，则为旋转后的图形（如图2）。 图1 图2此题虽然给度不大，但旋转的思

4、想以及透露出来数学方法对我们以后的学习具有很大的基础和借鉴作用。而且图形的旋转经常作为载体，结合几何中的全等、相似、勾股定理、三角形、四边形等知识来出一些综合题，这也是近几年广东中考中的热点题，如：1、 （2011年广东21题）如图3，ABC与EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90，固定ABC，将DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图4 图3 图4问：（1）始终与AGC相似的三角形有哪些？（2）设CGx,BH=y,求y关于x

5、的函数关系式（只要求根据图4的情形说明理由）; （3）问：当x为何值时，AGH是等腰三角形? 2、（2010年广东20题）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图6放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点GCEFB90，EABC30，ABDE4求证：EGB是等腰三角形；若纸片DEF不动，问ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图7）求此梯形的高。 图6 图73、（2009年广东20题）（1）如图8，圆内接ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为O的半径，ODBC于点F，OEAC于点G. （1）求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC面积的

6、. （2）如图9，若DOE保持120角度不变. 求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC面积的. 图8 图9可见以“图形的旋转”为背景的中考题是非常多见的，也足以证明“图形的旋转”的重要性，而此题略为改编和补充又可得到一道非常好的题。 图10改编1：如图10，分别在正方形的边上，且，连结。将绕点顺时针旋转到位置，点与点重合，点在的延长线上。证明：。并请猜想线段之间的数量关系，并加以证明。分析：要证三角形全等，我们必须去找边和角的相等关系，而题目利用中的只有“旋转前后的图形全等”以及“旋转的对应点与旋转中心所夹的角度相等”等知识来解题。解

7、答：由“旋转前后的图形全等”可得 ，且，易求得，即，又有： ，则。改编分析：此题与原题非常相似，但是由作图题改编成解答题，利用旋转的有关性质来证明全等，再得到线段之间的数量关系，可以较好的开发同学们的思维和探究能力。对此题我们可以归纳总结：线段之间的数量关系是由全等得来的，而全等是由旋转得到的，实际就是通过旋转构造三角形全等，从而得到不同边的线段之间的数量关系，这些数学思想同学们若归纳起来就会发现在以后的学习中很有机会应用到。若我们对原题的图形进行变形，对此问的结论再加以运用，结合其它知识又可变成如下问题：改编2：运用改编1中积累的知识和经验解决下列问题：如图11，在直角梯形ABCD中，AD/

8、BC（BCAD），是AB上一点，且求直角梯形ABCD的面积。 图11 图12分析：既然要利用和运用改编1中的知识，就需构造满足改编1中条件的图形，受此启发易得作辅助线的方法：将直角梯形补成正方形。 解答：如图12，过点C作CFAD，交AD的延长线于点F。易证得四边形ABCF是正方形，且ECD450，由改编1结论可得：DEBE+DF，则DFDEBE10；设正方形的边长为x，则AEx-3，ADx-10，在RtADE中，由勾股定理可得：，即，解得：（舍去），ABBC15，AD15105，梯形ABCD的面积。改编分析：本问考查的知识点加入了勾股定理、梯形等知识，同时此题又是一道“知识运用”题，将原题图

9、形进行“部分显现”，又要利用原题结论，可较好培养同学们现学活用的运用知识的综合能力。若将改编1中的特殊四边形正方形换成一般四边形，对其中的一些条件进行保留或改变，又可改编成如下问题：改编3：如图12，若分别在四边形的边上，且，猜想线段之间的等量关系，并加以验证 图12 图13分析：此题与改编1条件、结论相似但又有不同，由前面的特殊的四边形正方形变成了一般四边形，保留了一组邻边相等，该组邻边所对的一组角一般性的互补（改编1中是一对互补的直角），还有一个一般性的2倍角关系（改编1中是900与450的两倍关系），求的还是一样的结果。解答分析：既然差不多的条件、结论，那可不可参照改编1的方法和思路呢？

10、于是我们参照改编1套用旋转的思想，如图13，ABAD，将ADE绕点顺时针旋转到ABG位置，使AB与AD重合，D+ABC1800，ABG+ABC1800 ，C、B、G共线，即点G在CB的延长线上；易知ADEABG DABG，DAEBAG，AEAG，BGDE， GAFBAG+BAFDAE+BAFEAF， 又AEAG，AFAF EAFGAF（SAS） EFGFBG+BF 又BGDE， EFBF+DE 改编分析：通过改编3我们就可以归纳出一种有关旋转的数学思想和解题思路、方法，同样也可以得到一个一般的结论：在满足一定的条件之下，三条线段之间满足上述关系。利用此结论和这种数学思想和方法，我们可以解决一些

11、与此类似的问题，于是我又想到了另外一种方式的改编，也是方法和结论的延续与应用。改编4：运用改编3中积累的知识和结论，完成下面问题：如图14，在四边形中，平分，点在上，且，于点，若，求线段的长。 图14 图15题目分析：此题要想利用改编2中的知识和结论就必须构造符合改编2中条件的四边形和线段，三个条件：1、一组邻边相等；2、一组对角互补；3、两倍角关系。联想到角平分线的性质，我们可以一一构造符合条件的图形。解答分析：如图15，过作的垂线交的延长线于点。由角平分线的性质易得：，且，故四边形满足（2）中四边形的条件，由（2）中结论有：。解可得：；易证得，设，则，由可得：，解得：。此四问设计可以说改编1是初步应用，改编3是拓展探究，改编2和改编4是知识运用，某些问可组合设计改编成为一道大题甚至压轴题，让同学们在阅读题目、理解题意、掌握解题思路和方法的基础上应用知识、逐步解决问题。这三问由易到难，由特殊的正方形到一般的四边形，环环相扣、层层递进，体现了数学中由特殊到一般、由易到难的归纳证明思想和命题思路。特