函数新定义习题

1、函数新定义习题已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”； 若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为。若函数，且，则实数h的取值范围是（）A B C D （茂名2014年一模）8、定义域为的函数的图象的两个端点为，点是图象上任意 一点，其中)，向量（O为坐标原点），若不等式恒成立，则称函数在上“k阶线性近似”. 若函数在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )A B C D （2010福建卷理10）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有则称直线

2、为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为D=的四组函数如下：，； ，；，； ，。其中，曲线与存在“分渐近线”的是A B C D【答案】C【解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是时，。对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；当时，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是选C【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行做答，是一道好题，思维灵活。（茂名2014年一模）21

3、、（本小题满分14分）已知函数。（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）记函数的图象为曲线C，设点是曲线C上的不同两点如果在曲线C上存在点，使得：；曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值相依切线”，试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.11、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作. ()方程的解是 ;()下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题

4、的序号)； 是奇函数;在定义域上单调递增; 的图象关于点 对称解析：(i) 则; (ii) 当时，ACM=,此时故 错的定义域为不关于原点对称 错显然随着m的增大,n也增大;所以在定义域上单调递增 对又整个过程是对称的,所以 对4、如图，半径为2的与直线相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交于点，设为，弓 形 的面积为，那么的图象大致是（ D ） 4x224SOx224SOx22SOx224SO（2010广东卷理21）设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离(A,B)为(A,B)=+.对于平面上给定的不同的两点A(),B()(1) 若点

5、C（x, y）是平面上的点，试证明+;(2) 在平面上是否存在点C(x, y),同时满足+= ； = ；若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。解析：设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.（2）当点C(x, y) 同时满足P+P= P，P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。（2010上海卷理22）若实数、满足，则称比远离.（1）若比1远离0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解

6、析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.解析：(1) ；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a3+b3比a2b+ab2远离；(3) ，性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期，3函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ，4函数f(x)的值域为（2010上海卷文22）若实数、满足，则称比接近.（1）若比3接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.解析：(1) x(-2,

7、2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；(3) ,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ22、将正整数2012表示成个正整数之和.记.（I）当时，取何值时有最大值.（II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由.（III）设对任意的15且|2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由.解：（I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062. （II）当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值. 由x1+x

8、2+x3 +x4+x5=2012，取得最大值时，必有|xi-xj|1（ 1ij5）.（*）事实上，假设（*）式不成立.不妨设x1-x22，令x1=x1-1，x2=x2+1，x3=x3，x4=x4，x5=x5.有x1+x2=x1+x2， =x1x2+x1+x2x3+x4+x5+x3x4+x3x5+x4x5，同时S=x1x2+x1+x2x3+x4+x5+x3x4+x3x5+x4x5，S-S=x1x2-x1x20这与S取得最大值矛盾.所以必须有|xi-xj|1（ 1ij5）. 因此当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值.（III）由x1+x2+x3 +x4+x5=2012且|xi-xj|2,只有x1=401，x2=402，x3 =x4=x