科学计算与数学建模第10章 统计预测方法及预测模型-10.2-趋势外推法.pptx

1、10.2 趋势外推法,10.2.1 趋势外推法,当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季 节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以 用趋势外推法进行预测。 趋势外推法的两个假定： I.假设事物发展过程没有跳跃式变化； II. 假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变 化不大。,10.2.2 趋势模型的种类,多项式曲线外推模型,I.一次（线性）预测模型,II.二次（抛物线）预测模型,III. 三次预测模型,IV. 一般形式,y t,b0b1t,2,y t,b0b1 t b2 t,0,3,t,y,bb t bt 2 12,bt 3,2,k,y t

2、,b 0b1 tb 2 t,b k t,指数曲线预测模型,I.一般形式,II. 修正的指数曲线预测模型,III.对数曲线预测模型,IV.生长曲线趋势外推法,V. 皮尔曲线预测模型,t,yaebt,t,y,y t,a bct a b ln t,t,L,y,1 ae b t,bt,yt,ka,10.2.3 趋势模型的选择,图形识别法 通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时 间 t 为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与 各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。,差分法 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。,I.一阶向后差分可以表示为：,II.

3、 二阶向后差分可以表示为：,ytyt yt 1,ytyt,t1,2yt1,yt2,yyt ,差分法识别标准,多项式曲线趋势外推法 二次多项式曲线预测模型,即求解三元一次方程组,2,yt,b0 b1t b2t,设有一组统计数据y1 ，y2 ， yn，令,t 1,Q(b0 , b1 , b2 ) ,( y y)2 tt,( ybb t b t 2 )2 t012,Min,n ,n t 1, , ,4,2,3,1,2,0,2,3,2,2,1,0,2,01 2 ,t,tb,tb,ty b,t,t btb,ty b,t bt,y nbb,对例 1 我国1952年到1983年社会商品零售总额数据画折线图分

4、析， 以社会商品零售总额为 y 轴，年份为 x 轴。,从图形可以看出大致的曲线增长模式，较符合的模型有二次曲线和 指数曲线模型。但无法确定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将,分别对该两种模型进行参数拟合。 I. 适用的二次曲线模型为：,2,yt,b0b1t b2t,首先产生序列，,t 2,t,y,577.24 44.33t 3.29t 2,然后运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计，其中调整的 R2 0.9524 方程通过显著性检验，拟合效果很好，标准误差为：151.7。,II. 适用的指数曲线模型为：, 两边取对数,bt,t,y,ae,ln yt,ln a bt, 产生序列,，之后进行普

5、通最小二乘估计该模型,ln yt,ln yt,ln 303.69 0.0627t,0.0627t,t,y,303.69 e, 得其中调整的 R20.9547 方程通过显著性检验，拟合效果很好，标准误差为：175.37。,通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用二次曲线模型拟合的 效果更好。因此，运用方程：,进行预测将会取得较好的效果。,t,y577.24 44.33t 3.29t 2,三次多项式曲线预测模型为, 设有一组统计数据,2,3,yt,b0b1t b2tb3t,0123,tt,t012 3,Q(b ,b ,b ,b ) ,( yy )2 ,( ybbt b t2 b t3 )2 Min

6、,n t1,n t1,y 1，y2，yn ，令, 即, 解这个四元一次方程就可求得参数。, , , ,6,5,4,3,0 1 2 3 ,5,4,3,2,0 1 2 3 ,2,4,3,2 3 ,2,0 1 ,3,2,01 2 3 ,ty b,ty bt bt bt bt 3tbtbtbt,t bt,t btb,ty b,t bt bt,y nbb,指数曲线模型, 线性变换得,(a 0),yaebt,t,ln yt,ln a bt, 指数曲线模型转化为线性模型。 修正指数曲线模型, 令 Ytln yt , A ln a ，则,YtA bt,(0 c 1),ya bct,t,龚珀兹（Comperz）

7、曲线模型,b t,y t,ka, 线性变换得 lg y lg k bt lg a 对应于不同的 lg a 与 b的取值范围而具有间断点。,a)lga 0,0b1,k,意味着市场对某类产品的需求已逐渐接近饱和状态 。,b)lga1,k,意味着市场对某类产品的需求已由饱和状态开始下降 。,c) lga0,0b1,k,意味着市场对某类产品的需求下降迅速，已接近最低水平k 。,d)lga0b1,k,意味着市场对某类产品的需求从最低水平 k 迅速上升。,皮尔曲线模型,t,L,y,1aebt,10.2.4 曲线拟合优度分析,实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与 几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度 分析后再确