大学物理-刚体运动学幻灯片.ppt

1、质点动力学小结,在空间上的累积：功 机械能,在时间上的累积：冲量 动量定理,机械能守恒,动量守恒,功能原理,动能原理,动量定理,势能：,质心：,变质量动力学基本方程：,质心运动定理：,刚体运动随处可见,摩天轮是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回转的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述?,“伦敦眼”（高135米） 坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑。,千禧之轮,第5章 刚体运动学,5.1 刚体和自由度的概念,一. 刚体,特殊的质点系，, 理想化模型,形状和体积不变化,在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变,二. 自由度,确定物体的位置所需要的独立坐标数, 物体的自由

2、度数,s,O,i = 1,x,y,z,O,( x , y , z ),i = 3,i = 2,x,y,z,O,i = 3+2+1= 6,当刚体受到某些限制 自由度减少,5.2 刚体的平动,刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行, 刚体平动,平动的特点:,(1) 刚体中各质点的运动情况相同,(2) 刚体的平动可归结为质点运动,平动运动刚体的自由度？,一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m，供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速为0.1 r/min。,例,解,求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。,吊箱平动,（10分钟一圈）,

3、6.3 刚体绕定轴转动,z,M,I,II,P,角坐标,一. 描述 刚体绕定轴转动的角量,刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动,刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动_刚体转动,转轴固定不动, 定轴转动,(运动学方程),角速度,角加速度,二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度,当,与质点的匀加速直线运动公式相似,P,刚体,参考方向,z,O,r,基点O,任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同,速度与角速度的矢量关系式,加速度与角加速度的矢量关系式,定轴,P,刚体,参考方向,z,O,r,基点O,瞬时轴,第6章 刚体动力学,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。

4、长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？,一. 力矩,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力 F 对z 轴的力矩(力在垂直于轴的平面内),质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,h,A,力 F 对z 轴的力矩(力不在垂直于轴的平面内),力矩取决于力的大小、方向和作用点,在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向（r F右手螺旋）,6.1 刚体绕定轴转动定律,结论：,(1) 力对点的力矩,O .,力对轴的力矩,(2)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴 的力矩,讨论,(3)什么情况下，力对点的力矩，等于该力对(

5、过该点)的轴的力矩,力对点的力矩在通过该点的轴上的投影，等于该力对该轴的力矩,A,结论与O在 轴上的位置无关.,m,若 ，则,对Pi :,两边同乘以 ri ：,切向：,对刚体中所有质点求和,法向：.,二. 刚体绕定轴转动定律,所以,合外力矩,（刚体的转动惯量）,（刚体定轴转动定律）,刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物 理量都是相对于同一转轴而言的；,讨论,刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上所有外力力矩的总和；,定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢量关系式：,刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如 同质点力学中的 ；,三. 转动惯量,对质量连续分布的刚体,

6、对质量离散分布的质点系,计算转动惯量的基本公式,质量线分布，为线密度( ),质量面分布，为面密度( ),质量体分布，为体密度( ),刚体绕定轴转动的转动定律,6.1 刚体绕定轴转动定律,在细杆上x 处取线元dx,(1) 取如图所示的坐标,细杆对过中点的垂直转轴的转动惯量为,试求质量为m，长为l 的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。 (1) 转轴垂直于杆并通过杆的中点； (2) 转轴垂直于杆并通过杆的一端。,解,(2) 以细杆的一端 为坐标原点，取如图所示的坐标,例,线元的质量为,则此时的转动惯量为：,圆环上各线质量元dm到转轴的距离均为R，所以有,试求一质量为m，半径为R的均质细圆环对通过其中心

7、且垂直于环面的转轴的转动惯量。,在圆环上任取质量元dm，则,解,例,讨论,质量不均匀细圆环？,任取一半径为r，宽度dr的圆环。,看成是许多半径不同的同心圆环的集合：,试求半径为R ，质量为m的均质薄圆盘，对过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量。,解,例,圆环的质量为:,圆环的转动惯量为,则整个圆盘的转动惯量为,讨论,质量分布对转动惯量的影响？,均质厚圆盘？,(2) 刚体的总质量：,影响转动惯量J大小的三个因素,(1) 刚体的转轴位置：,(3) 质量相对转轴的分布：,转动惯量叠加定理,z,L,C,M,z,(1) 平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,平行轴定理

8、证明：,C,z,M,z,ro,ri,L,mi,x,O,例 均匀薄圆盘的转动惯量,求,(薄板)垂直轴定理,x,y轴在薄板内； z 轴垂直薄板。,解,常见刚体的转动惯量,四. 刚体定轴转动定律的应用,(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),两者区别,例,求,一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计，绳与滑轮间无相对滑动，(见图),滑块A、重物B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为m3、半径为r的定滑轮C（可视为均质圆

9、盘）。滑块A与水平桌面间的滑动摩擦系数为k，滑轮与轴之间的摩擦可忽略不计，不可伸缩的轻绳与滑轮之间无相对滑动。,的力矩：,受力分析,的力矩：,例,解,力矩分析, 取如图所示的正方向,列动力学方程,若重物B下降时，滑块A的加速度a及绳中的张力。,求,对滑轮C:,对滑块A ：,对重物B：,且,求解以上方程，得,讨论：,如图，一钟摆由长度为l，质量为m1的均质细杆和固定在其一端的质量为m2的摆球（可以看作质点）构成。钟摆可绕过杆另一端的固定轴无摩擦地摆动，开始时把它放置于水平位置，并处于静止状态，然后让它自由下落。,受力分析如图,钟摆所受的合外力矩（重力的力矩）,例,解,求,放手后钟摆摆到角位置时的

10、角加速度和角速度。,钟摆系统的总转动惯量,由刚体定轴转动定律，有,而,匀质圆盘以 0 在水平桌面上转动,受摩擦力而静止,滑动摩擦系数为 .,解,例,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,摩擦力矩,由转动定律,例 一个刚体系统，如图所示，,已知，转动惯量,，现有一水平力 F 作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,讨论：,6.2 刚体绕定轴转动的功能关系,主要内容：,1. 刚体绕定轴转动的转动动能,2. 力矩的功,3. 刚体绕定轴转动的动能定理,4. 刚体的重力势能,5. 含有刚体

11、的力学系统的机械能守恒定律,一. 刚体绕定轴转动的转动动能,对刚体上所有质点的动能求和,在刚体上任取一质点Pi,质点Pi的动能为,（刚体绕定轴转动的转动动能）,讨论,与质点的动能相比较，也可看出转动惯量J的地位对应于质 点的质量m。,应用：稳速、储能 磁悬浮飞轮储能UPS,6.2 刚体绕定轴转动的功能关系,一. 刚体绕定轴转动的转动动能,对刚体上所有质点的动能求和,在刚体上任取一质点Pi,质点Pi的动能为,（刚体绕定轴转动的转动动能）,讨论,与质点的动能相比较，也可看出转动惯量J的地位对应于质 点的质量m。,应用：稳速、储能 磁悬浮飞轮储能UPS,6.2 刚体绕定轴转动的功能关系,二. 力矩的

12、功,O,功的定义,力矩作功的微分形式,对一有限过程,若 M = C,( 积分形式 ）,力的累积过程力矩的空间累积效应,P,(力矩的功就是力的功),讨论,(1) 外力矩功的总和,(2) 内力矩作功之和为零。,(3) 力矩的功率,设在合外力矩M的作用下,三. 刚体绕定轴转动的动能定理 合力矩功的效果,（刚体绕定轴转动动能定理的微分形式）,当刚体角速度从t1时刻的1改变为t2时刻的2时，合外力矩对刚体所作的功为,（刚体绕定轴转动的动能定理）,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体始、末两个状态转动动能的增量。,若以hC表示质心到零势能面的高度，则,刚体的重力势能与其质量全部集中在质心上的质点相同

13、。,以xOy 平面为重力势能零参考面,四. 刚体的重力势能,对刚体中所有质点的势能求和,结论：,3.4.5 含有刚体的力学系统的机械能,（机械能守恒定律）,当 A外 + A非保内 = 0 时，有,对含有刚体的力学系统，机械能守恒条件不变,定轴转动刚体的机械能: 转动动能、重力势能.,例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,此题也可用机械能守恒定律方便求解,例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕 水平光滑轴O 在 竖直平面内转动，初始时它在水平位置.,求 它由此下摆 角时的 ,系统机械

14、能守恒（棒、地球）。,重力势能零点：取细杆的水平位置.,则有,由此解得,解,图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t，,例,解,分析（机械能）：,求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各滑轮的质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。,机械能守恒,若滑轮质量不可忽略，怎样？,如图，系统由静止开始释放，释放时弹簧处于自然状态。已知滑轮半径为 r = 0.3m ，转动惯量为 J =

15、0.5kgm2。滑块的质量为 m = 2kg ，斜面倾角为 = 370 ，弹簧的劲度系数为 k = 20Nm-1 。滑块与斜面、滑轮与轴承之间的摩擦均可忽略不计，轻绳不可伸长，与滑轮之间没有相对滑动。,(1) 当滑块沿斜面滑下 1.0m时，它的速率多大？ (2) 滑块沿斜面将下滑多远？ (3) 当滑块速率达到最大值时，它已滑下多远？,例,解,求,滑块沿斜面下滑距离为x时, 有,取弹簧、滑轮、滑块、地球为研究系统，系统机械能守恒。,势能零点:滑块的初始位置 弹簧自然长度,（参 数）,r = 0.3m ， J = 0.5kgm2， m = 2kg ， = 370 ， k = 20Nm-1,任意位置

16、时滑块的速率为,(1) 当x = 1.0m时，速率为,(2) 当x = xmax时，滑块速率为零,(3) 当滑块速率达到最大值时，有,则当x = 0.6 m 时，速率为,另解：,一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律,1. 质点的动量矩(对O点),大小：,特例： （质点作圆周运动）,6.3 动量矩和动量矩守恒定律,O,S,方向：？,(1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(与固定点的选择)有关。,说明,(2) 质点对轴的动量矩：当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩,(3) 质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等

17、于质点对该轴的动量矩,例,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3,解,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩的大小,求方向？,例,z,A,O,方向：,(动量矩定理的积分形式),(动量矩定理的微分形式),2. 质点的动量矩定理,冲量矩,质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量,说明,冲量矩是质点动量矩变化的原因,质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果,3. 质点 动量矩守恒定律,质点动量矩守恒,(1) 守恒条件,(2) 有心力的动量矩守恒。,讨论,M,O,应用：,mv1,mv2,由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定

18、律,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一,求 角及着陆滑行时的速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星.,质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,刚体的转动动能和动能定理,1. 转动动能,2. 力矩的功,3. 刚体定轴转动的动能定理,刚体的机械能,质点的动量矩定理和动量矩守恒,1. 质点的动量矩(对O点),2. 质点的动量矩定理,3. 质点 动量矩守恒定律,质点 动量矩守恒的分量形式,例,关于 O 点？,关于 A 点？,关于 Z

19、轴？,二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律,质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和,以质心 C 为动参照系的原点,，对第 i 个质点：,，则,设其相对于质心的位置矢量为,，速度为,1. 质点系的动量矩,O,C,质点系的动量矩可分为两项：,第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度 .,轨道角动量:反映了整个质点系绕参考点的旋转运动.,第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和,自旋角动量:它只代表系统的内禀性质，与质心运动无关。 （地球）.,说明,C,2. 质点系的动量矩定理,微分形式,积分形式,质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量

20、,说明,质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩,3. 质点系动量矩守恒定律,对质点系,投影形式,演示,4. 质点系角动量在 z 轴的投影（关于 z 轴角动量）,A,若质点作平面运动，z 轴垂直运动平面，则,结论与O在 轴上的位置无关.,质点系：,（各部分的含义？）,m,（针对刚体进行讨论）,三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,1. 刚体定轴转动的动量矩,刚体对转动轴的动量矩 ,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为,O,(定轴转动刚体对Z轴的动量矩),方向相同。,2. 刚体定轴转动的动量矩定理,（动量矩定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量,说明,3. 刚体定

21、轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,变形体绕某轴转动时，动量矩守恒，则,动量矩守恒举例,花样滑冰 跳水 芭蕾舞等,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？,证明：一个做匀速直线运动的质点，对任一固定点的动量 矩不随时间变化。,O,h,例,证,例 一均质棒，长度为 L，质量为M，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。,求 子弹细棒共同的角速度 。,解,其中,m,讨论 水平方

22、向动量守恒,子弹、细棒系统的动量矩守恒,？,？,质点的动量矩定理和动量矩守恒,1. 质点的动量矩(对O点),O,2. 质点的动量矩定理,3. 质点 动量矩守恒定律,质点 动量矩守恒的分量形式,质点系的动量矩,质点系的动量矩定理,(内力矩不能改变质点系的动量矩),质点系动量矩守恒定律,质点系动量矩 z 轴分量,刚体定轴转动的动量矩,刚体定轴转动的动量矩定理,刚体定轴转动的动量矩守恒定律,动量矩守恒定律在工程技术上的应用,陀螺仪与导航,支架S 外环 陀螺G 内环,陀螺仪：能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。,陀螺仪的特点：具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯量。,陀螺仪的定向特性：由于不受外

23、力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。,演示,直升机螺旋桨的设置,尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。,对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零。,演示,四. 进动,高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动,陀螺的动量矩

24、近似为,动量矩定理,由于,因而,只改变方向，不改变大小(进动), 进动角速度,而且,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,动量矩定理,进动方向的讨论.,刚体运动学,刚体平动的特点:,刚体中各质点的运动情况相同;可归结为质点运动.,刚体绕定轴转动的特点:,刚体中各质点均作圆周运动。,(运动学方程),定轴转动刚体上各点的速度和加速度,刚体动力学,转动定律,转动惯量,平行轴定理,(薄板)垂直轴定理,刚体的转动动能和动能定理,1. 转动动能,2. 力矩的功,3. 刚体定轴转动的动能定理,质点的动量矩定理和动量矩守恒,1. 质点的动量矩(对O点),2. 质点的动量矩定理,3. 质点 动量矩守恒定律

25、,质点 动量矩守恒的分量形式,质点系的动量矩,质点系的动量矩定理,(质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩),质点系动量矩守恒定律,刚体定轴转动的动量矩,刚体定轴转动的动量矩定理,刚体定轴转动的动量矩守恒定律,一质量为m，长度为l的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m0的橡皮泥以速度v0与细杆在其3l/4处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起。,(1) 碰撞后系统的角速度； (2) 碰撞后细杆能上摆的最大角度q0。,(1)碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒,例,解,求,有,(2) 上摆过程机械能守恒，则有,如图，在光滑水平面上放一质量为m、长为l的均质细棒

26、，细棒可绕中心固定的光滑竖直轴转动，细棒开始静止。若有一质量为m0 的小球，以垂直于细棒的水平速度v0冲击细棒的一个顶端，设冲击是完全弹性碰撞。,碰撞后小球的反弹速度v和细棒的角速度w。,例,解,求,外力对转轴C的合外力矩为零，碰撞时系统角动量守恒，有,由于碰撞是完全弹性碰撞，系统机械能守恒，则,设子弹与细棒以初速v0接触相碰时为起始状态，子弹以速度v0/4穿出棒时为末状态。,如图，一质量为m1，长度为l的均质细棒，可绕过其顶端的光滑水平轴自由转动。质量为m2的子弹以水平速度v0射入静止的细棒下端，穿出后子弹的速度减小为v0/4。 （用两种不同的解法）,子弹穿出后棒所获得的角速度w。,解,求,

27、例,(1)应用动量定理和角动量定理求解,设棒对子弹的阻力为F，对子弹应用动量定理,(1),子弹对细棒的冲击力为F,对细棒应用角动量定理,(2),(2),(1),比较式(1)和式(3) 得,式(2)变为,(3),(2) 应用系统角动量守恒定律求解,由此解得,所以,且,讨论 水平方向动量守恒,？,？,v0/4。,求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量,例,解,R,切为许多垂直于轴的圆环,z,dz,m,r,R,z,dz,m,r,求均匀球体绕直径的转动惯量,例,解,切为许多垂直于轴的圆盘,另解：,求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量,例,x,dx,解,求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过

28、面心的中心轴的转动惯量,例,解二,设,k是一个无量纲的量,C,z,立方体绕棱边的转动惯量为,分成八个相同的小立方体,他们绕各自棱边的转动惯量为,八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC,即,解三 垂直轴定理,从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O相距为d ，且（d + r） R,d,O,O,R,r,挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量,例,解,求,使用补偿法,则填满后的总质量为m+m,设小圆盘的质量为m,m,一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速

29、度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即沿杆爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动,O,r,昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零（忽略重力力矩），动量矩守恒,例,解,求 昆虫沿杆爬行的速度。,使杆以匀角速度转动,代入得,动量矩定理,其中,例 长为l 、质量为 M 的均质杆，一端悬挂，可绕通过O点垂直于纸面的轴转动。今让杆自水平位置无初速地落下，在铅垂位置与质量为 m 的物体 A 作完全非弹性碰撞，碰后物体A即于杆分离，沿摩擦系数为 的水平面滑动。,求 物体 A 沿水平面滑动的距离。,解,三个过程,如图，一个质量为m1，半径为R 的圆形水平

30、转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为m2的人站在转台的边缘，开始时，人和转台都相对于地面静止。,解,求,例,当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度。,取人和转台作为系统，系统动量矩守恒。,设人和转台对地角速度分别为和，则,当人在转台上走动一周时，人对转台走过2，对地走过,分三个物理过程计算,如图，一根长为l, 质量为m1的均质细杆,可绕其一端的水平轴O作无摩擦转动。现将另一端悬挂于一劲度系数为k的轻弹簧下端，开始时细杆静止并处于水平状态。有一质量为m2的小球（m2 m1）从距杆h高处落到杆的中点，并粘于杆上和它一起运动。设杆旋转微小角度后，角速度就减小到零。,此时弹簧的伸长量。,

31、解,求,例,小球未落下时，细杆处于平衡状态，设此时弹簧的伸长量为x0，则有,(1) 小球与杆接触前的一瞬间，有,(2) 小球和细杆发生完全非弹性碰撞过程，设作用时间很短，忽略重力及弹簧力的力矩。 系统角动量守恒。设碰后角速度为 ，则有,(3) 杆与球碰撞后系统的下降过程机械能守恒，有,总伸长量为,有一转台，,M,R,初始的角速度为0,有一个人站在转台的中心，,m,u,以相对于转台的恒定速度u沿半径向边缘走去，,人走了t 时间后，转台转过的角度,例,解,求,选(人和转台)为系统，对竖直轴的角动量守恒,在时间 t 内，,人走到距中心的距离为,一飞轮如图，,M,R,某一瞬时有一质量为m的碎片从飞轮的

32、边缘,飞出，且速度方向正好竖直向上。忽略重力矩的影响,例,解,求,(1) 碎片能上升的最大高度,(2) 余下部分的角速度，角动量，转动动能,碎片离盘时的初速度为,(1),所以碎片能上升的最大高度为,(2),分离瞬间，碎片和余下部分组成的系统角动量守恒,角动量为,转动动能为,O,P,h,一质量为2m，半径为R的均质圆盘，可绕通过其中心O且与,盘面垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动。有一质量,为m的粘土块从h的高度落到P点（自由落下），且=600,例,解,求,(1) 碰撞后瞬刻盘的0,(2) P点转到x轴时盘的 ，,选(粘土块+圆盘)为研究对象,系统对O点的角动量守恒,(1),忽略重力的矩,(

33、2),(m + 圆盘+地球）为系统，只有重力作功，机械能守恒,EP = 0,当P点转到x轴时， (m + 圆盘) 系统所受力矩仅为 mgR,均匀直杆质量 m,长为l。初始水平静止，轴光滑，AO =l /4,杆下摆角后的角速度,例,解,求,l , m,O,A,B,mg,N,O,选（杆+地球）系统，只有重力作功，E守恒。,3r,m,m,r,O,解,C,求对过圆环中心且垂直于圆环平面的转轴O 的转动惯量,例,求空心圆柱绕中心轴的转动惯量,例,解,为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值,圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为:,实心圆柱绕中心轴的转动惯量为:,空心圆柱绕中心轴的转动惯量为:,z,R1,R2,l,

34、m,d,一半圆形均质细杆，其半径为R ，质量为 m ，AA/为过半圆形圆心和端点的轴。,细杆对轴AA/的转动惯量,例,解,求,R,A,A/,r,dl,m,另解：,z,R,v0,R / 2,v = ?,Mz角动量守恒,mv0 R,mv R / 2,v = 2v0,例,拉力做的功？,如图所示，一质量为M的均质方形薄板，其边长为L，铅直,放置着，它可以自由地绕其一固定边转动，转动惯量为,若有一质量为m，速度为v的小球垂直于板面碰在,板的边缘上。设碰撞是完全弹性的。,碰撞后，小球的速度和板转动的角速度,例,解,求,(1/3)ML2,选(子弹+板)为研究对象,该系统在子弹入射前后对轴的角动量守恒,碰撞是

35、完全弹性的，机械能守恒,如图，两个质量均为m的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的两端。一个用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦力都可忽略，开始时两小孩都不动,(1) 哪一个小孩先到达滑轮,(2) 若两个小孩质量不等时情况如何,例,解,求,R,O,(1) 以小孩、滑轮作为系统,则系统对O点的总角动量为,+,而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩，,且合力矩为零,所以系统对O点的总角动量守恒,开始时两小孩都不动,所以,随后,但,(2) 若两个小孩质量不等,m1m2,系统所受的外力矩为,系统对O点的总角动量为,开始时两小孩都不动,所以,随后,总角动量不守恒,若,m1m2,若,m1m2,

36、总之，在任何情况下总是体轻的小孩上升的快，先到达滑轮。,一个硬胶轮绕无摩擦的水平轴转动，,O1,O2,10,20,m1,m2,r,R,无摩擦的水平轴转动，两轴平行，,今使两轮边缘接触,接触后的系统，角动量是否守恒,另一个硬胶轮绕另一,例,解,问,系统的角动量守恒的条件，,对定轴的合力矩为零,若选O1为系统力矩的参考点,由于接触产生的一对摩擦力的对O1点力矩的和为零,轮对各自轴产生的一对约束力对O1点力矩的和不为零,各自的重力对O1点力矩的和不为零,所以系统的角动量不守恒,注意,计算系统的力矩，必须对同一参考点而言,一质量为M，长为l 的均匀细直杆，可绕通过其中心O且与杆,垂直的光滑水平固定轴，

37、在竖直平面内转动。质量为m的,子弹沿水平方向射入杆的下端且留在杆内，并使杆摆动，若,杆摆动的最大偏角为,O,(1) 子弹入射前的速度v0,(2) 最大偏角时，杆转动的角加速度,例,解,求,选(子弹+杆)为研究对象,该系统在子弹入射前后对O点的角动量守恒,杆上摆的过程中，仅有重力矩作功，机械能守恒,(1),(2), 扩展 ,水中的旋涡,火龙卷风,星 系,第6*章 固体与流体,固体：能保持其体积和形状的物质,液体：能保持其体积但不能保持其形状的物质,气体：既不能保持其体积也不能保持其形状的物质,流体：,气体,液体,流体的基本特性：,流动性，没有固定的形状。,连续介质模型：将流体看成由无限多流体质点所 组成的稠密而无间隙的连续介质。,宏观上体积足够小，可看作质点； 微观上体积足够大，内部有足够多的分子。,流体质点,1 应力与应变,一. 应力,