微专题1分段函数中的热点问题

1、2021新亮剑高考总复习微专题1第二章分段函数中的热点问题2分段函数是指自变量 x 在不同的取值范围内对应不同的解析式,由于分段函数本身的这个特点,所以可以将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目中,考查多个知识点,因而分段函数已成为高考命题的一个热点.解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”,即自变量在哪一段,就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题.既要紧扣“分段”特征,又要将各段有机联系使之整体化、系统化.1.分段函数的求值分段函数的求值包括两类题型.一是直接求值,不含参数的复合函数求值时,从内向外逐次计算,每次都要注意自变量的取值范围;二

2、是如果分段函数的解析式或求解方程问题中含有参数,可根据条件、方程解出参数后,再解决其他问题.3例 1(2020 届广州一模)设定义在 R 上的函数满足 f(x)=f(x+2),当 x-1,1)-log,0 1,72时,f(x)= 则 f =. 2(2 ),-1 0,解析因为定义在 R 上的函数满足 f(x)=f(x+2),所以函数的周期为 2,当 x-1,1) 时 ,f(x)= log2,0 0,10设函数则 f -的值为f(x)= . ( + 1)-1, 0,3f - 10 - 7- 4- 12解析=f-1=f-2=f-3=f-4, 3333322 =-1,f - 10 =-9.又 f=co

3、s 33232答案解析62.给定函数值求参数f(x)是一个分段函数,函数值的取值直接依赖于自变量 x 属于哪一个区间,所以要对 x 的可能取值范围逐段进行讨论.32 , 0, 例 2(2020 届北京模拟)已知函数 f(x)= 若 f(-1)+f(1)=2,则 a= .2 , 0,2 , 0,1解析函数 f(x)= -1f(-1)=2= ,f(1)=a, , 0,2f(-1)+f(1)=2,1+a=2,解得 a=3.22答案解析73- ln( + 2), -1,探究 1设函数 f(x)= 若 f(a)=-1,则 a= 2.-2-4, -1,当 a-1 时,f(a)=-1 即ln(a+2)=-1

4、,解得 a=1-2e,而1-2e-1,故舍去;解析ee当 a-1 时,f(a)=-1 即-2a-4=-1,解得 a=-3 2,B.-19C.1A.1D.09f(3)=f(3-1)=f(2)=3-2+a=-8,解得 a=-1.解析9微点评：若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,利用函数值构造方程.其关键点为:(1)讨论,对所求自变量分段讨论,得出相应函数值; (2)解方程,由函数值相等构造方程,并解方程;(3)得结论,将符合自变量相应范围的解写出来.答案解析9【微点练】1.(2020 届甘肃模拟)已知函数 f(x)= log4(2 + 1), 1,若 f(1)=a,则 f(a)

5、4-, 1,=. 因为 a=f(1)=log 2=1,所以 f(a)=f1=4-1=7.解析 24222答案解析103-2-5, 3,2.(2020 届云南模拟)已知函数 f(x)=若 f(m)=-6,则 f(m-61) -log2 ( + 1), 3,= .3-2-5, 3,解析函数 f(x)=f(m)=-6, -log2 ( + 1), 3,当 m3 时,f(m)=-log2(m+1)=-6,解得 m=63.f(m-61)=f(2)=32-2-5=-4.答案解析113.分段函数的单调性分段函数在定义域上的单调性,不但取决于各段函数的单调性,还需在定义域的分界处满足单调性定义.(2020 届

6、武汉调研)若 f(x)= (3-1) + 4, 1,是定义在 R 上的例 3-, 111 , 减函数,则a 的取值范围是.831 , 3-1 0, 0,所以 a 的取值范围是 1 , 1 .83答案解析12微点评：对于含参数的分段函数的单调性的判断(以两段为例):(1)确定函数的第一部分的单调性;(2)确定函数的第二部分的单调性;(3)比较左端点和右端点的大小,列出满足条件的不等式组,取交集.13【微点练】已知函数 f(x)=(2-1) + 3-4, ,无论 t 为何值,函数 f(x)在 R 上总是 3-, ,1 -, 不单调,则 a 的取值范围是 2.由 f(x)=x3-x 得 f(x)=3

7、x2-1,由 f(x)0 解得 x -,- 3 3 , + ,所解析33以 f(x)在 -,- 3 和 3 , + 上单调递增,在 - 3 , 3 上单调递减.令 g(x)=(2a-1)x3333+3a-4,可知其为单调函数或常函数.当 g(x)单调递增时,无论 a 为何值,只要将 t 取到足够大,总能使 f(x)为增函数.当 g(x)单调递减或为常函数时,可知 f(x)恒不单调.所以 2a-10,解得 a1 .2答案解析144.与分段函数有关的不等式问题在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围(解不等式)的方法:先 假设自变量的值在分段函数定义域的某段上,然后相应求出在这段定义域上自

8、变量的取值范围,再与这段定义域求交集即可.log2, 1,例 4(2020 届河南郑州模拟)已知函数 f(x)= 则不等式 f(x)11, 1,1-D的解集为().A.(-,2C.0,2B.(-,0(1,2D.(-,01,2答案解析15解析当 x1 时,f(x)1 即log2x1,解得 1x2;当 xf(x)的 x 的取值2 -2-, 0,范围是(C).A.(-,-1)(2,+)C.(-,- 2)(2,+)B.(-,- 2)( 2,+)D.(-,-1)( 2,+)解析由题意,当 x0 时,f(x)单调递增,故 f(x)f(0)=0;当 x0 时,f(x)=0.若 f(x2-2)f(x),则 x

9、2-2x,且 x2-20,解得 x2 或 x 1,取值范围为(A.-1,2)C.1,2C).B.-1,0D.1,+)解析函 数 f(x)= 2|-|, 1, 若 x1, 则 f(x)=x+12. + 1, 1,易知 y=2|x-a|在(a,+)上单调递增,在(-,a)上单调递减.若 a 0, 1四个不同的解 x ,x ,x ,x ,且则的取值范围为(Bx x x x ,x (x +x )+).12341234312 243A.(-1,+)C.(-,1)B.(-1,1D.-1,1)答案解析19解析作出函数 f(x)的图象如图所示,方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1,x2,x3,x4,且 x

10、1x2x3x4,x1,x2 关于直线 x=-1 对称,即 x1+x2=-2;0x31x4,则|log2x3|=|log2x4|,即-log2x3=log2x4,则log2x3+log2x4=0,即 log2(x3x4)=0,则 x3x4=1.由|log x|=1 得 x=2 或 x=1,则 1x 2,1x 1.24322 1 1 1故 x (x +x )+=-2x +,x 1,31233 243 23 1 1由函数 y=-2x +在上为减函数, ,1 332 1可 知 x (x +x )+的取值范围是(-1,1.312 24320微点评：解决与分段函数有关的方程问题,主要是分段讨论构建方程或通

11、过数形结合求图象交点,其关键点为:(1) 讨论,分段讨论相应的自变量,构建方程.(2) 求解,在分类讨论的前提下,求解方程,或利用分段函数的图象求交点的横坐标.(3) 下结论,将各段上的方程的解求并集.21【微点练】2- +1 , 0,1.(2020 届广东省汕头市二模)已知函数 f(x)= g(x)=x2-x-2,设 b 为实2+1, 0,数,若存在实数 a,使得 g(b)+f(a)=2 成立,则 b 的取值范围为(A).B. - 3 , 7 A.-1,222C. - 3 , 7 D. - 3 ,4 222答案解析222- +1 , 0,解析因为 f(x)= 2+1, 0,所以当 x0 时,f(x)=2x+1 单调递增,故 f(x)=2x+12;2当 x0 时,f(x)=-+1=- + 1 = (-) + - 1 2,当且仅当-x=-1,即 x=-1 时,等号成立.综上可得,f(x)2,+).又因为存在实数 a,使得 g(b)+f(a)=2 成立, 所以只需 g(b)2-f(a)min,即 g(b)=b2-b-20, 解得-1b2.232.(2020 届河南八市联考)设函数 f(x)= - + , 1,若对任意的 aR 都有 2, 1,f(f(a)=2f(a)成立,则实数