12第十二章 平稳随机过程

1、第十二章 平稳随机过程1 基本概念定义1：已给s.p，若，即T中任意的与，维r.v与有相同的维d.f。即 则称s.p是一个严（强，狭义）平稳过程。当维d.l时，则有若取=1，则有，特别，当，可取则有。此时平稳过程的一维d.l与（时间）无关。于是即的均值是一个与时间无关的常数。其方差 也与时间t无关的常数。 而且的二维d.l也只依赖于即当时，有所以与之间自相关为它只依赖于类似地之间协方差为 并且 一般来说，实际应用中的s.p是很难达到如此严平稳的要求的，故而求其次，即有如下的定义2：已给s.p若且满足1（常数）（又记）2 （又记）则称是一个宽（弱、广义）平稳s.p.简称为平稳s.p。当取复值时，

2、则称复平稳s.p.定义3：已给两平稳s.p ，若满足则称是联合平稳的或平稳相关的。例1例3见书上，当T取离散值时，称平稳序列。例4：已给s.p,其中为常数，r.v，试证是平稳s.p.事实上，显然。 （或）=0.及 故由定义2知是一个平稳s.p. 2 各态历经性（遍历性）先令给二阶矩s.p.在T上均方积分定义，考察a,b上一组分划 记若存在一个r.v 使即 则称在a,b上均方可积，并记理论上已证明：二阶矩s.p在T=a,b上均方可积的充分条件是 并且 再引入时间均值与时间相关函数。时间均值定义为 是r.v时间相关定义为 是r.v 先看一例例1见书。 定义：设是平稳s.p1若则称的均值具有多态历经

3、性。2若实数有 则称的自相关函数具有多态历经性。若称得均方值具有多态历经性。3当的均值与相关函数都具有多态历经性时，则称是多态历经的（又称遍历或ergodicity）.Th1. 平稳s.p的均值具有多态历经性 想法（思路）。任一r.v ,现在故 （*）证：先求再求 下面计算 令， 则，从而 代入（*）式即得证明。推论：若极限，则均值具有各态历经性，极限均值不具有各态历经性。定理2：平稳s.p相关函数具有各态历经性， 而 。定理3：平稳s.p， 。定理4：s.p（平稳）， 。3 相关函数的性质设和是平稳相关的s.p。即有：， ，它们具有性质：12，即是的偶函数. .3由许瓦兹不等式知： 同理有：

4、 称 和 各为标准自协方差和标准互协方差函数，故有，. 由第4章3知，当且仅当时，与互不相关.4是非负定的，即中及实函数有： 反之，理论上已证明：若是连续的非负定函数，则它必定是某平稳s.p的自相关。5若平稳s.p满足条件即称是周期为的平稳s.p. 平稳，故，利用r.v ,.于是由许瓦兹不等式就有即此时周期平稳随机过程的自相关函数也是周期为的函数。 4 平稳随机过程的功率谱密度（一） 平稳随机过程功率谱密度回忆，设普通函数满足（能量有限），则有Fourier变换Parseval公式为，作截尾函数此时，故对有F变换。 此时，Parseval公式为 等式两边乘以，就有令如极限存在，得到，称，为x(

5、t)的平均功率谱密度。 接着考察平稳随机过程，则有,称故有（二） 谱密度性质：也是w的实非负偶函数。事实上 令 完全与2一样. ()例1. 2见书书上表12.1 例2 所以冲激函数的性质：若f(t)在处连续，则 及例3 白噪声：设X(t)是平稳随机过程且EX(t)=0,则称X（t）是白噪声。此时若平稳过程功率谱密度为则称是带限（低通）白噪声，此时,(三)互谱密度及其性质：设X(t),Y(t)是平稳相关的，定义为X(t),Y(t)的互谱密度，例1 设是实正交增量随机过程EY(t)=0,求X(t)自相关函数，讨论其平稳性，若平稳，求功率谱密度。解：由题设知与t无关，因此X(t)是平稳随机过程，并且

6、功率谱密度为例2 设是n个实随机变量，是n个实数，试问之间应满足什么条件才能使是一个复平稳随机过程。解：由平稳随机过程的定义，首先要求而与t 无关，只有令=0,或其次，要求仅依赖于s-t,只要令此时，有由上可见，当时X（t）成为一个复平稳随机过程。例3，设是均值为零的平稳序列，试证仍是一平稳序列，其中A，B为常数，m为一正整数。证：因为=仅依赖于L而与n无关，故由定义知为平稳序列。例4设是两个相互独立的平稳过程，试证也是平稳过程。证：（常数）又由的相互独立，平稳性，就有=仅依赖于而与t无关，故由定义知为平稳过程。例5 设是两平稳相关过程，且有试证：的谱密度为试用他们及的互谱密度表示的谱密度。解：因为=由此知X(t)是平稳随机过程，且习题6，则因=