《5.一元二次方程的根与系数的关系》（华东师大版）.ppt

1、,本课时编写：孟州市河雍学校王刚老师,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,探究1： 填表，观察、猜想,问题：你发现什么规律？ 用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是 , ,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,探究2：填写下表：,猜想：,如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？,已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。,求证：,推导:,如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么：,这就是一元二次方程

2、根与系数的关系，也叫韦达定理。,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,1.,3.,2.,4.,5.,练习：口答下列方程的两根之和

3、与两根之积。,1.已知一元二次方程的 两 根分别为 ，则：,2.已知一元二次方程的 两根 分别为 ，则：,3.已知一元二次方程的 的一个根为1 ，则方程的另一根为_， m=_：,4.已知一元二次方程的 两 根分别为 -2 和 1 ，则：p =_ ; q=_,5、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？,6、设 x1 、 x2是方程 利用 根与系数的 关系，求下列各式的值：,返回,例1 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积.,解：（1）设两根为x1 x2，由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得,（2）方程两边同除以2，得 设两根为x1 x2，可得,例2 试探索一元二次方程 的根

4、与系数的关系. 解：方程两边同除以a，得 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括 的结论是它的特例（二次项系数为1），利用这个结论，我们,运用根与系数的关系解题,可以直接写出例1中题（2）的答案,设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2 = _ X1X2 = _， X12+X22 = ； ( X1-X2)2 = ；,基础练习,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另 一个根是_，m =_。 2、设 X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则 X1+X2 = _ ,X1X2 = _， X12+X22

5、 = ( X1+X2)2 - _ = _ ( X1-X2)2 = ( _ _ )2 - 4X1X2 = _ 3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X2X-6=0 （ ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 _ 。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基础练习,（还有其他解法吗？）,5. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-7,1、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解

6、：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2, X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22 =4，得2k2-8k+44,解得k1=0 , k2=4,经检验， k2=4不合题意，舍去。, k=0,解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0, = K2-4k-8 当k=4时， 0 当k=-2时，0 k=-2,解得：k=4 或k=2,2. 已知

7、方程 的两个实数根 是且 求k的值。,补充规律：,两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。,两根一正一负的条件： X1X2 。 当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0,一正根， 一负根,0 X1X20,两个正根,0 X1X20 X1+X20,两个负根,0 X1X20 X1+X20,引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,2.应用一元二次方程的根与系数