第十七届希望杯培训题

1、第十七届(2006年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题高中一年级一 选择题以下各题的四个选项客观化中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。1已知全集U=R，N为自然数集，A=|3|2，B=|670，那么集合A()N的元素个数有()(A)4(B)5(C)6(D)无穷多个。2若+=1，则角的终边在()(A)I或III象限(B)II或IV象限(C)或轴上(D)II或III象限3是等差数列，的前项和为，若，则=()(A)0(B)(C)2(D)44若0，1，则()(A)是奇函数，是奇函数(B)是偶函数，是偶函数(C)是奇函数，是偶函数(D)是偶函数，是奇函数7设、(0，)，

2、且，则的大小顺序是()(A)(B)(B)(D)与有关。8某校6名同学参加市数学竞赛，共获1个一等奖，5个二等奖，其中有4位老师A、B、C、D对这6名同学的获奖情况猜测如下：A：3号同学不可能获一等奖；B：4、5、6号都不可能获一等奖；C：获一等奖的应是1号或2号同学；D：获一等奖的应是4、5、6号同学中的1个。实际结果表明，4位老师中恰有1人猜对了，那么获一等奖的学生是()(A)1号同学(B)3号同学(C)5号同学(D)6号同学9下面四个不等式中，正确的是()(A)(B) (C) (D) 10设(，)，则()(A)1(B)1(C)1(D)111若集合A=|60，且AB=B，则实数的范围是()(

3、A)(B) (C) (D) 12Let function and .If the graphs of and have at least one common point in the interval (0,), then the range of is ()(A)1(B)1(C)2(D)2的解集为R，则实数的范围为()(A)0(B)1(C)1(D)5(B)2(C)2420定义在R上的减函数，对于任意R，都有，若+0且1)的定义域为_。24不等式|5|6的解集是_。25不等式的解集是_。26函数的单调递增区间是_。27已知为等差数列，的前项和为，若，则=_，=_。28数列的前项和为，当最大时

4、，=_。(20.3010)29第1列第2列第3列第4列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24 28 26按照上面的排列规律，实数2006位于第_行，第_列。30函数，定义，的反函数为，若，则=_。31已知(其中，为常数，且0)，如果，那么的值为_。32已知=是定义在R上的单调递增函数，先将它的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到图象所对应的函数为=，再将=图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍得到的图象对应的函数为，那么图象关于直线=对称的图象所对应的函数表达式为=_。33若(，2)，且+=，则2=_。34对于任意实数，不等式恒成

5、立，则的取值范围是_。35若，则的表达式为_。36数列1，2,3，2,3，4,5，3,4，5,6，7,4，5,6，7,8，9，的第2006项是_；该数列中的项是2008的共有_项。37设，且，则=_。38若(0，)，则函数=23的值域是_。39函数的最大值是_。40若函数=对于一切实数，都满足，且=8，则=_。41若数列的首项为=1，前项和为，且对于任意的，2,34，2成等差数列，则=_。42The general term formulas of seguence , and are =32,=41 and =53 respectively,the sequence consisting o

6、f their common terms arranged in magnitude increasing order is denoted by ,then =_。(英汉词典：general term 通项；formula 公式；respectively 分别地；sequence 数列；to consist of 由组成；common term 公共项；to arrange 安排、排列；magnitude increasing 依大小增加的、从小到大的；order 次序、顺序；to denote 表示、记为)43设，其中，是常数，当=时，取得最小值，则=_。441+(1+)+(1+)+(1+

7、)(1)等于_。45已知，都是1至9中的数码，数，成等比数列，则由，这三个数码组成的三位数是=_。46In a bag there are three kinds of balls on which digits 2,3 and 5 are put respectively, Xiao Ming is required to pick out 12 balls from the bag in a random way such that the sum of digits of these 12 balls is 43,then the greatest number of the balls

8、 with the digit 2 picked out is _.(英汉词典：digit 数字；be required 被要求；to pick out 取出；random 随机地、随意的)47若=1(mod2)(表示是一个正整数，且被2除余1，以下同)，=3(mod5),=7(mod9),则最小的为_。48若二次函数，且|1，|1，则|的最大值为_。49某公司在2006年1月1日向银行贷款元，月利率为，()个月内还清，在贷款后的每月1日(包括2006年1月1日)还一次款，共还次，且各次还款额相等，还要求还清贷款后结余元，则每一次的还款额为_；若是“在贷款后的每月月底还一次款”(其余不变)，则

9、每一次的还款额为_。50的最小值是_。51函数的值域为_。52若数列是等差数列，首项0，、是方程 ()的两根，则使数列前项和0成立的最大正整数=_。53在不等边ABC中，若成等差数列，并设A、B、C角的对边长分别为、，则方程()+()+()=0的根为_。54若，那么=_。55设，如，是求和记号，如，1,2，3，则那么(其中，2,1,1，2,3)=_。56在边长为1的正方形中，在每边的三分之一处向图形外作正方形(如图)，如此下去：设第一个图形的周长为，第二个图形的周长为，第个图形的周长为，则=_。57已知，则2=_。58若为奇函数，那么当2，3时，的取值范围是_。59设，则的值为_。60若实数，

10、满足方程，则的取值范围是_。61若ABC中，三边的长、的倒数居等差数列，则B的范围是_。62函数=的值域为_。63.63能表示为连续的正整数之和(如31+32=63)，则63能表示的连续正整数之和的种数为_。64若是正整数，则使得关于的不等式，有唯一解的的最大值是_，此时不等式的整数解为=_。65若函数的定义域为R，且对于的任意值都有，则函数的周期为_。66当=_时，函数取得最大值_。67平面上有10条抛物线两两相交，最多可以把平面分成_部分。68在数列中，=1，=2，且(，且2)，则=_。69数列2006,20062006,2006200062006，的通项公式为_。70在数列中，=1，=5

11、，且，则数列通项公式为=_。71若不等式的解集为|0|，则的最小值为_。72满足的正整数，分别为_。73若、是三个互不相等的正数，且满足2+=0，则、的大小关系为_。74已知等比数列，的和为定值(0)，且其公比0的解，则的取值范围是_。三 解答题76设(1)(1)求；(2)求方程=的解集。77对任意集合M、N，定义MN=|M且MN。设区间A=(，)，B=(，)，其中、满足，求AB。78设数列满足=1，其中为实常数。记=+1，()(1) 若是等比数列，求的值；(2) 试求和的通项公式；(3) 试求的通项公式。79已知函数，数列的前项和=62+。试求数列的通项公式与前项和。80正实数，满足不等式(

12、其中为锐角)试确定的范围。答案与提示一 选择题BCACACDBBBDCCBDCCBAC2，则的终边一定在坐标轴上，又+=1，故的终边一定在轴的非正半轴或轴的非正半轴上。3，则则=0 O+另解：是关于的二次函数，且常数项为0，如右图，可知=0。另解：=0。4由条件知，333，2225325而3232=532。另解：考虑直线：=32，满足条件的(，)的点所在阴影区域，则线性规划求解。5由条件可知，为偶数，分别考虑=2,4，6时正整数解的组数为6,3，0。8因为只有1位老师猜对，而B、D的猜测互为否定，所以猜对者必是B、D中的1 人。假设D猜对了，则A也猜对了，这与只有1人猜对矛盾，于是B猜对了，从

13、而A猜错了，即获一等奖的学生是3号同学。9，排除(C)(D)，同理，排除(A)12令=，则有=即(0，)，01+2，等号当且仅当即=时成立。13由条件知1，故0211，故定义域为0,1则。14由条件知函数是以4为周期的周期函数。做出图象可知。15由已知得，令，则则数列是以6为周期的周期数列。2006=3346+2，。16，令=，则当=0时=1，=1满足条件当0时，由0得31010解得由Z知。则=0，1,2，3，分别代入检验。17除用常规判断外也可取特殊值判断。考虑=0时各函数值。18|+86|+|14|100，(|+86|+|14|)2，则2，当=1时的取最大值5。520由条件有即，+2，即0

14、和1时，；当06或5026(，+)，。提示：|的周期为。当0，时，|=在0，上单调递增。而=在0上单调递增，故在(0，上单调递增，再由复合函数的单调性及|的周期性可得。27=62，=3。提示：由已知可得=4，=628最大。提示：。是递减等差数列。令0得，故19时0，20时0。29251,3。提示：每8个数字看作一组。2000=12582。故2000在第125组数的最后一个，即2000为第250行的第一个数，可知2006位于第251行第3列。30.8提示：。，同样可求出，可归纳出，由=(，同号)解得，故，再由条件代入可求出=8。315提示：易知是以2为周期的周期函数。故。令，则是奇函数。，而32

15、。提示：由已知存在反函数，易知，所求函数与的图象关于=对称，故所求函数图象上点(，)满足，从而得。33。提示：由+1知不在三象限，在第四象限，且|，则，从而32，则20。因为，所以故当=时，取最小值。另解：设，则，再利用三角或解几(斜率)。512,0，2524012提示：，又0故，。53=1。提示：，将，其中(为内切圆半径)，代入得=，=(-)+()=2()，代入方程化为2+1=0。54.0提示：，。55.56提示：一一写出(25个加数)。或用列表： 21123和24 4232 14 06 1612 31 21 02 13 2612 11 01 22 33 4824 02 12 34 46 5

16、1436 13 23 46 59 622和66814225656.8。提示：，571或1。提示：令+=(|)，则，从而。由即得解得=或=或=(舍去)，再由得。58。提示：由，是奇函数得即，得=，则，它是单调递增函数。59。提示：，于是解得|再由0得。60。提示：由已知可知0，设=，=代入方程得，则，其中，再由|(2+)|1可得。610B。提示：。由已知，。6222，4。提示：由40得04。又 (*)，。故函数的图象在线段=(04)的下方。，且点(0,0)，(4,4)在上述线段=(04)上，故函数的最大值为4。将(*)两边平方整理得2(2+4)+=0，此方程在0,4内有实根，0解得222+2。从

17、而结合4得。另解 ，令2=2，0，转化为三角函数解。635提示：连续的正整数是以公差为1的等差数列。设满足条件的数列的首项为，项数为，则。(2+1)=27(2)。当=2时，=31,63=31+32；当=3时=20,63=20+21+22；当=6时=8,63=8+9+10+11+12+13，当=7时，=6,63=6+7+8+9+10+11+12；当=9时=3，63=3+4+5+6+7+8+9+10+11。当=14,18,21,42,63时，均有0。64220,199。提示：。要使(99，100)内只有一个110的整数倍，即。由得11011099 +得220。当=220时，992201101002

18、20，得198200，得=199。656。提示：由已知有，两式相加得=0从而66，10。提示：设，则。当34=0即3=4时。100，得010。67191。提示：设条抛物线最多可将平面分为部分。为使+1条抛物线分割的平面区域数目尽可能的大，应使第+1条抛物线与前面的条抛物线中的每一条都有4个交点，则第+1条被这4个点分割成4+1段弧，每一段弧对应一个新增加的区域，从而有。则=41+2+4(1)+2=2+1，故=210010+1=191。68。提示：由得即数列是首项为1，公比为1的等比数列，则。69。提示：=2006，则。另解：=70。提示：由已知得71。提示：原不等式两边同除以得。0，又由题意知=0，得，于是。化为，则，。72。提示：若是偶数，(1)为奇数时，是奇数，是奇数，+1413是偶数，矛盾。(2)是偶数时，是偶数，是偶数，+1413是奇数，矛盾。故是奇数。又，1413，则=1或3，但=1时，矛盾，当=3时，则有或=14(舍去)73。提示：。，又从而有74，0) 。提示：。0，所以，即0，则A=|(1)()0。(1)当1时，A=1，则已知AB，从而B，即10，1与1矛盾。（2）1时，A，1，所以=+10在，1上恒成立，但图象的对称轴为=。当时，由得0即0时最小，由 解得221)为增函数于是=(