第11讲 静电场的解法(2)

1、第11讲 静电场的解法（2）上节回顾：1， 平面镜像金属平面镜像介质平面镜像2， 球面镜像镜像问题中的三个问题：l 镜像电荷位于待求场域边界之外。l 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。l 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。 导体平面镜像介质平面镜像场分布图导体球接地的镜像问题导体球不接地的镜像问题一，柱面镜像法在讨论圆柱面的镜像问题之前，先分析线电荷的平面镜像问题，这一结果可用于导体柱的镜像问题。例：线密度为 的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平面前，二者相距,如图所示，求电位及等位面方程。 (a) 导体平

2、面与线电荷；(b) 等位线解：线密度为的无限长电荷产生的电位为：同理得镜像电荷的电位： 任一点(x, y)的总电位： 用直角坐标表示为 等位线方程为 这个方程表示一簇圆，圆心在，半径是。其中： 每一个给定的m(m0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为 例：两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是 2d，如图示，求导体单位长的电容。 平行双导体解：设两个导体圆柱单位长带电分别为和，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷和代替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别为1和2。 解得：当ba时， 二，分离变量法分离变量法是数学物理方程中一种十分常用的方法，其基本思想是：（1） 把求解

3、偏微分方程的定解问题转化为求解常微分方程的问题，即把待求函数分离成三个坐标变量的函数之积，从而将偏微分方程转化为三个常微分方程，（2） 再结合问题特定的边界条件，求出原问题的解。用分离变量法求解静电场问题的依据是场的唯一性定理，因为分离变量后的解既满足微分方程，又满足边界条件，因此该解就是问题的真解。使用分离变量法，选择合适的坐标系非常重要。一般来讲，当边界（或其一部分）与某一坐标系的坐标面形状相同时，就应选择此种坐标系。例如，边界面是平面时，选择直角坐标系；边界面是圆柱面时选择圆柱坐标系；而当边界曲面是球面时则应选择球坐标系。下面研究电位的Laplace方程的分离变量解法。1，直角坐标系中的

4、分离变量法当边界面的形状适合选用直角坐标系时，需在直角坐标系中求解Laplace方程，此时，方程的形式为：首先进行变量分离，即令，代入上式得：两边同除以得：因此式中每一项都只是一个坐标变量的函数，要使上式成立，必须有各项均为常数，令：得：其中、都是常数，称为分离常数，它们满足如下关系：可见三个分离常数只有两个是独立的，当其中两个确定后，第三个也就随之确定了。此外，上式还表明，除非，其中必有一个为实数，一个为虚数，第三个可能为实数也可能为虚数。当其中某一个为0时，另两个必是一实一虚。分离常数具体取何值应由边界条件确定，但不外乎以下三种情况：（1）等于0，（2）实数，（3）纯虚数。分离常数取不同的

5、值时，方程的解也有不同的形式。以为例：(1) 当时，上式变为，则 (2) 当为实数时，其通解为 (3) 当为虚数时，令，则其通解为、解的情况与此类似。如果是平行平面场问题, 则为二维场, 位函数仅是两个坐标(如x, y)的函数, 这时kz=0。由于分离常数必须满足式：所以得 , 则有 通解的形式是 或 上式中, 在许多情况下, 为了满足边界条件, 分离常数要取一系列的值, 这时得到一个级数解, 如 ：在封闭平行平面场问题中, 则解为 ：如果是三维场问题, 若 3 个分离常数都不等于零, 设 , 即为正实数, 则 则位函数的通解为： 下面举例说明分离变量法在求解静电场边值问题中的应用。例 一无限

6、长矩形槽，其四壁上电位满足图中所示边界条件，求槽内电位分布。axyzb解：因为槽沿z轴为无限长，且边界上边界条件沿z轴无变化，故槽中电位与z无关，仅为x、y的函数，此问题可归纳为：令，代入（4.3-5）得： （4.3-8） （4.3-9）先解方程（4.3-9）（为何不先解（4.3-8）？因为由所给条件不能得出的边界条件）由（4.3-7）得： （4.3-10）根据此条件，只有当为非0实数时（4.3-9）有非0解，此时通解为：由（4.3-10）： （4.3-11）再解（4.3-8）：由，所以得到：（4.3-8）的通解为： （4.3-12） （4.3-13）由于方程（4.3-5）是线性的，故（4.3

7、-13）的迭加仍为其解，故其通解为： （4.3-14）再利用边界条件（4.3-6）确定系数、 （4.3-15）又 即： 两边同乘以并从0b积分，由三角函数正交性：即： 代入（4.3-15）得：分离变量法解的选取： 在分离变量法求解静态场的边值问题时，根据边界条件来确定分离常数是实数，虚数或者零。1， 若在某一个方向上的边界条件是周期的，则该坐标的分离常数必为实数，其解选三角函数2， 若在某一个方向的边界条件是非周期的，在该方向的解选双曲函数或者指数函数，有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数3， 若位函数与某一坐标无关，则该方向的分离常数为零，其解为常数。例 求图中所示电位边值问题的解。a

8、xyzb解：可表示为：类似的得到： （4.3-16） （4.3-17）先解（4.3-16），由经讨论，为实数时（4.3-16）有非0解。当时，其解为当时，其解为由 （4.3-18）相应地，当时，（4.3-17）的解为：当 时， 原方程满足（*）的通解为：再确定系数： （4.3-19）又 比较系数得：，代入（4.3-19）得原问题的解为：实际上，分离常数，的取值情况不必每次都由边界条件讨论而定，可按以下规律选取：1若沿某一坐标的方向（i为，之一）的两个边界上的边界条件均为齐次（第一类、第二类），则该坐标变量的分离常数必为实数，相应的解应选三角函数：并且，若两边界都是第二类齐次条件，可取0，否则不能取0。2若沿坐标方向上的两个边界条件至少有一个为非齐次，则该坐标的分离常数必为虚数，相应的解应选双曲函数或指数函数，具体选何种形式按以下规则：若区域在此坐标方向有界，选 若区域在此坐标方向无界，选 据此，上例通解形式可选为：例 设一横截面为矩形的长金属盒, 四条棱线处均有无穷小缝隙相互绝缘, 边界电位分布如图所示。试求金属盒内的电位分布函数。 解(1) 满足二维拉普拉斯方程: 且 (2) 边界条件: (3) 根据边值写出电位的表示式。为满足y=0 及b的边值,