§2.7函数模型及函数的综合应用.ppt

1、课标版 理数 2.7函数模型及函数的综合应用,1.三种增长型函数模型的图象与性质,2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=x(0) 在区间(0,+)上,无论比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于x,但由于y=ax的增长速度快于y=x的增长速度,因而总存在一个x0,使xx0时有axx. (2)对数函数y=logax(a1)与幂函数y=x(0) 不论a与值的大小如何,对数函数y=logax(a1)的增长速度总会慢于y=x的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有 logaxx. 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们

2、的增长速度,不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+)上,总会存在一个x0,使xx0时有axxlogax. 3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:,1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是() A.118元B.105元C.106元D.10

3、8元,答案D设进货价为a元,由题意知132(1-10%)-a=10%a,解得a=108, 故选D.,2.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个,答案A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面 的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化规律上反映出来,应该是匀速的,故下面的图象不正确,中的变化规律应该是越来越慢的,正确;中的变化规律是先快后慢再快,正确;中的变化规律是先慢后快再慢,也正确,故只有是错误的.选A.,3.

4、将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为每个元. 答案95 解析设售价为每个x元,利润为y元, 则y=400-20(x-90)(x-80)=20(110-x)(x-80) =-20(x2-190 x+8 800) =-20(x-95)2+20952-208 800. 当x=95时,y最大,最大值为4 500.,4.某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x吨,运费为3万元/次,一年的总存储费用为2x万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买吨.,答案30 解析设总费用为y万元,由题意知

5、y=3+2x=+2x,x(0,600,y 2=120(当且仅当x=30时,取“=”),所以每次购买30吨时,总费 用最小.,5.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(xN*)件.当x20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为,该工厂的年产量为件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入-年总投资),答案y=;16 解析由已知得:当020(xN*)时,y=260-100-x=160-x. 当x=21时,年利润最大为139万元

6、. 综上可知,y与x的函数关系式为 y=(xN*), 且当年产量为16件时,所得年利润最大,为156万元.,典例1(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 () A.B.C.D.-1 答案D 解析设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为 a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x0,因此x=-1,故选D.,函数的实际应用,(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k0),其增长特点是直线上升(x的

7、系数k0),通过图象可以很直观地认识它. (2)指数函数模型:能用指数函数表达的函数模型,其增长特点是随着自变,量的增大,函数值增大的速度越来越快(a1),常形象地称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型,其增长特点是开始阶段增长得较快(a1),但随着x的逐渐增大,其函数值增长的速度越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.,(4)幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型,其增长情况随y=x中的取值变化而定,常见的有二次函数模型. (5)“对勾”函数模型:形如f(x)=x+(a0,x0)的函数模型,其在现实生活中 也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时利用函数的单调性

8、求解最值.,1-1某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);,(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间. 解析(1)设y=f(t)= 当t=1时,由y=4,得k=4, 由=4,得a=3. 则y=f(t)=,(2)由y0.25得或 解得t5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-=(小时).,典例2(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足: f(0)=f(1)=0; 对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|时,不妨设xy,依题意有|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(1)-f(y)|f(x)-f(0)|+|f,函数的综合应用,(1)-f(y)|,|f(x)-f(y)|-=. 综上所述,对所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)|.因此,k,即k的最小值为,故 选B.,函数的综合问题主要指综合运用函数知识和函数思想来分析、解决问题.函数思想贯穿高