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文档简介

1、,定积分及其相关问题,第五章,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,解决步骤 :,1) 大化小.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 近似和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,定积分的性质,(设所列定积分都存在),( k 为常数),6. 若在 a , b 上,则,ab,7. 设,则,积分中值定理,则至少存在一点,使,积分

2、上限的函数及其导数,则变上限函数,定理2. 若,说明:,1) 定理 2 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 其他变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,牛顿 莱布尼茨公式,( 牛顿 - 莱布尼茨公式),定理3.,函数 ,则,则有,微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼茨公式,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限 配元不换限,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式,已知,利

3、用夹逼准则可知,(1998考研),例2. 求,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考: 下列作法是否正确?,例10. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,例12. 如图, 曲线 C 的方程为,解:,是它的一,个拐点,线, 其交点为(2,4),设函数f (x)具有三阶连续导数,计算定,积分,直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切,(2005 考研),0,例14. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式成立 .,例17. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,作业,P269 5(2)(3) ; 10,(9) ; 12; 13,例16.,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存在点 , 使,(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使,(2003 考研),证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,(2)

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