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文档简介

1、98级高等数学(上)期中试题一、填空题（38=24分）1.解： ，。2若在内连续，则 -2 。解：， 。3若，其中可导，则.解： .4.若，则 1 .解： 。5.函数由方程确定，则。解：， ，。6函数的带拉格朗日余项的三阶麦克劳林公式为 。 解：， ， （在与之间）。7若，则。解：，。8曲线的单增区间为，下凸区间为。解：的定义域为， 令，得；令，得。12+0-0+二、选择题（44=16分）9当时，与为等价无穷小，则必有（ A ） （A），； （B），； （C），； （D），。解：，。 10函数的不可导点的个数是（ C ） （A）3； （B）2； （C）1； （D）0。解：的可能不可导点为，。

2、， ， 。 ， ， 不存在。11曲线（ C ） （A）没有渐近线； （B）有一条渐近线； （C）有二条渐近线； （D）有三条渐近线。解：，曲线无水平渐近线； ， 直线是曲线的垂直渐近线； ， 直线是曲线的斜渐近线。12已知在的某邻域内连续，且，则在处（ D ） （A）不可导； （B）可导且； （C）取得极大值； （D）取得极小值。解：在连续，当时，。故应选（D）。三、解答题 （30分）13设，求（6分）解：，。14求极限：（6分）解：。15设函数由方程确定， 试求它的驻点，并判定 它是否为极值点，如果是极值点，是极大点还是极小点？（8分） 解：， 即， 令，得，代入原方程，得， ，得唯一驻点，

3、此时， 再对式两边求导，得 ， ， 把，代入式，得，是极小值点。16试确定的范围，使方程有实根。（10分）解题思路：设，。当且仅属于函数的值 域时，方程有实根。首先确定在内的值 域。为此需要求的极值。 ，令，得唯一驻点， ，是极小值，也是最小值， 又， 的值域是， 当时，直线才能与曲线相交， 这时方程才能有实根。四、应用题（210=20分）17设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平方成正比。若银行以 的年利率把总存款的贷出，问银行给存户的年利率定为多少，它才 能获得最大利润？解：设银行付给存户的年利率为，总存款量为，总利润为，则（为常数），即 ， ， 令，得，(应舍去)。 ，是极大值点，也是最大值点。 当银行给存户的年利率定为时，才能获得最大利润。18.一盏高的路灯照在一个距灯远，从高处自由下落的球上，球的影子 沿水平地面移动，求当球离地面高时影子移动的速度（空气阻力忽略不计）。解：以灯柱与地面的交点为原点，灯柱所在的直线为轴，建立平面直角坐标系。 灯的位置为，球的初始位置为。 设球下落离地面时， 影子距原点的，则有， ， 当时，由，得，。 所求影子移动的速度为。五、证明题（10分）19设在连续，在内可导， 试证：，使。 分析：即证。这题是要证明存在两个中间值，满足等 式。由于用一次

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