凸函数与极值

1、哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目： 凸函数与极值 院（系）理学院专 业数学与应用数学年 级2009级姓 名哦哦学 号指导教师啊啊啊职 称副教授2013年 月 日毕业论文（设计）评语及成绩论文类型：理论研究型评语：该论文的选题有一定的理论价值。本文主要观点正确，选题有一定的新意，论点正确、论据充分、结构严谨、文理通顺、条理清晰、逻辑性强、写作格式规范、图表正确、清晰。所采用的资料可信度、支撑度高。全文理论结合实际，对应用凸函数的性质求解极值问题做出了全面而深刻的分析和总结，反映了该生较扎实的理论基础。本文对提高学生解题能力、培养创新能力具有一定的指导作用。符合本科毕业论文的规范要求。可以提交答

2、辩。指导教师（签字）年 月 日评语及评分成绩： 答辩委员会主席（签字）年 月 日院（系）学位评定委员会意见：签字：年 月 日学校学位评定委员会意见：签字：年 月 日承 诺 书本人 哦哦 ，哈尔滨学院 理 学院 数学与应用数学 专业 094 班学生，学号： 。本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文凸函数与极值 ，是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。 承诺人：董春 年 月 日目 录摘 要1Abstract2前 言3第一章 凸函数的定义与性质41.1 一元凸函数的定义与性质41.1.1一元凸函数的定义41.1.2一元凸函数的性质41.1.3一元凸函数的判定71.2 多元凸函数的定义与性质91.

3、2.1多元凸函数的定义91.2.2多元凸函数的性质101.2.3多元凸函数的判定10第二章极值的定义与判别法142.1一元函数极值142.1.1一元函数极值的定义142.1.2一元函数极值的判定142.1.3可导凸函数极值问题 152.1.4一般凸函数极值问题172.2 多元函数极值182.1.1多元函数极值的定义182.1.2多元函数极值的判定19第三章 凸函数与极值相关理论22第四章 利用凸函数求解极值问题244.1将极值问题转化为凸函数问题求解244.2弓形面积的最值26参考文献30后 记31摘 要本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。研究一元凸函数和多元凸函数的定义，性质及

4、其判定；刻画了凸函数极值点的分布规律，并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。第二章介绍了极值的定义与判别法，从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。关键词：凸函数；严格凸函数；极值；最值 Abstract The extremum problems and its corresponding maximum and minimum Value Problems of differentiable convex function are studied in this

5、 paper ，and the distribution law of extreme value point of convex function is depicted. The obtained result can be extended to the differentiable strictly convex function and the general convex functionKey words: convex function; strictly convex function; extreme value; maximum and minimum value 前 言

6、函数的极值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的重要特征。在现有文献中，对一般可导函数的极值问题的研究已接近完善，得到了许多极值的充分条件，为求解函数的极值与最值问题带来了极大的便利。但是对于凸函数的极值问题的讨论却鲜见报道。为此，本文从凸函数的基本定义和性质出发，研究可导凸函数极值问题，探讨凸函数极值的充分条件，并讨论相应的最值问题，以期揭示可导凸函数的极值点和最值点的分布规律。凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中，它在纯粹数学和应用数学的众多领域具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数理经济学，变分学和最优控制学的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强

7、他们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应用，总结了凸函数的许多重要性质，应用到实际问题中，结合正定矩阵在最优化的图规划和函数极值点问题的应用，拓宽了凸函数极值问题的新领域。凸函数是一类有着广泛应用的特殊函数，具有许多特殊的性质，它的最大值与最小值有着一些特殊的性质，因此，探讨和总结凸函数的性质及应用能深刻理解和牢固掌握函数的概念和性质，培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用。本文共分四章，包括了凸函数定义及性质与极值的定义与判别法，凸函数与极值相关理论和利用凸函数求解极值问题。第一章 凸函数的定义与性质1.1 一元凸函数的定义与性质 1.1.1一元

8、凸函数的定义定义1 设函数在I上有定义，若，总有 或 称为I上的凸函数（凹函数）。定义2 在定义1中，若，且不等式（1）（2）严格成立，则称为I上严格凸函数（严格凹函数）。我们给出了凸函数的定义，要证明它是严格凸函数唯一的条件是，只要那么不等式（1）（2）就严格成立。由定义1，定义2，容易证明：若函数为I上的凸函数，则，有若，则有那么，则有则函数为I上的凹函数。由凸函数的定义我们很容易证明凹函数，由凸函数性质及其相关问题，自然而然的就能推到凹函数中去。1.1.2一元凸函数的性质1.凸函数的运算性质性质1 设函数,在区间为凸函数，则函数+在区间也为凸函数。我们在证明凸函数的运算性质时，知道函数,

9、在区间为凸函数，根据定义写出它的运算公式，函数+的和就是两个运算公式的和，在区间上也是成立的，证明过程如下：证明： , , 因函数,在区间为凸函数，从而 且 从而因此+在区间也为凸函数。推论1 设函数,在区间为凸函数，为非负实数,则也为区间上的凸函数。根据性质1的证明：我们同样可以证明出推论1的结论。证明如下：, , 因函数,在区间为凸函数，从而 且 又因为为非负实数，所以有=+因此在区间也为凸函数。性质2 设函数,在区间为凸函数，则在区间也为凸函数。分析：利用凸函数的定义和两个函数最大值的性质可以证明在区间也为凸函数。证明： , 因函数,在区间为凸函数，从而且令=,则 因此 在区间也为凸函数

10、。性质3 设函数,在区间为递增的非负凸函数，则在区间也为凸函数。 分析：利用凸函数的定义和函数在区间的单调性可以证明在区间也为凸函数。 证明：, 因函数,在区间为凸函数，从而且从而 可得，在区间也为凸函数。 推论2 为区间上的凸函数，为非负实数，则也为区间上的凸函数。性质4 设函数在区间为非负凸函数，则在区间上也为凸函数。利用不等式的性质和函数的连续可以证明在区间上也为凸函数。证明： ，因函数为非负凸函数，可知在连续，且0从而在区间连续，因,有，因此 可知在区间上也为凸函数。性质5 设函数在区间为凸函数，设函数在区间为单调增加凸函数，且的值域A=，则在为凸函数。证明：, 因函数,在区间为凸函数

11、，从而 且因此可知在为凸函数。性质6 设在区间为严格减少的凸函数，则反函数也为凸函数。分析:根据凸函数的性质和反比例函数的性质，利用函数在区间上的单调性可以证明反函数也为凸函数。证明：因在区间上严格减少，从而存在反函数，设A=，., 则，使即则为凸函数，从而=因为严格减少。因此，即 因此，由定义知在A=也为凸函数。2.凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论。性质7 设是上的凸函数,则为上的凸函数. 分析：利用凸函数的定义和求导公式可以证明 为上的凸函数。 证明：为上的凸函数,因此它在内连续,在上有界.由此知有意义. ,令 时

12、，恒有 = （因的凸性） 所以是上的凸函数.性质8 设函数在上递增,则函数为凸函数.分析：利用函数的增减性不等式的性质可以证明函数为凸函数。 证明： 因 递增,积分有意义.且。故为凸函数.1.1.3一元凸函数的判定定理1 设函数为I上可导，则为I凸函数的充要条件是：总有 且当为I上的严格凸函数时，不等式（3）严格成立。定理 函数为I上的凸函数的充要条件是： 且当为I上的严格凸函数时，不等式（4）严格成立。 定理 函数为I上的凸函数的充要条件是： 且当为I上的严格凸函数时，不等式（5）严格成立。定理4 设函数在开区间可导，函数在区间是凸函数（凹函数），且,有（）.证明： 只给出凸函数情况的证明，

13、同法可证凹函数的情况。 必要性若函数在区间是下凸函数，且，由 （6） 有 已知函数在与都可导（当然也连续）。根据极限保号性定理分别有即 与 即 于是= 充分性,且.根据微分中值定理,有=与= 已知，即由（6）式知，函数在区间是凸函数。定理5 若函数在开区间存在二阶导数，且（1）,有,则函数在区间严格凸函数。（2）,有,则函数在区间严格凹函数。1.2 多元凸函数的定义及性质凸函数的概念可以从一元函数推广到多元函数，但是，这需要多元函数的定义域是凸的。1.2.1多元凸函数的定义定义3 设集合，若对于任意的以及任意的，有 则称集合是凸集。由定义易知，是凸集，当且仅当连接中任意两点的线段在中。性质9

14、集合是凸集的充要条件是对于任意自然数，若点，则其非负线性组合 其中且.性质10 任意两个凸集的交集是凸集。注1 两个凸集的并集未必是凸集。定义4 设，定义性质11 设是凸集，是实数，则是凸集。定义5 设是一非空凸集，若对于任意的及任意的，有 则称在集合上是凸函数；若 则称在集合上是凹函数。1.2.2多元凸函数的性质定理6 设是凸集，则是凸函数当且仅当对于任意的自然数有 其中.定理7 设是凸集上的凸函数，又，则是凸函数。定理8 设是凸函数，是非减凸函数，则复合函数是上的凸函数。1.2.3多元凸函数的判定如果可行域是凸集，目标函数是凸函数，则所论的最优化问题是一个凸规划问题。那么哪些函数是凸函数呢

15、? 最常见也是最简单的凸函数是变量 的线性函数，例如线性规划中的目标函数，其中。需要指出的是线性函数既是凸函数也是凹函数。 另一类常见的二次函数其中 是 n n 阶 对 称 阵 ， 即，。为的 H e s s e 矩阵。 表示向量的转置。 当矩阵半正定时是凸函数；当正定是严格凸函数；当半负定时是凹函数；当是不定矩阵时，即不是凸函数也不是凹函数。定理9 设是定义在凸函数集上的一阶可微连续函数，则是D上严格凸函数的充分必要条件是：，。利用凸函数的定义和泰勒展开式即可证明。证明 必要性： 设是凸集 D上的严格凸函数，则对任意的 和任意的，有由此得 （7）由泰勒展开式有代入 （7）式得两边也关于取极限

16、即充分性：设满足条件，对任意的， 取，由D是凸集知，由条件得到： （8） (9)用乘以( 7 ) 式， 用乘以( 8) 式后两式相加,得 .由于，由上式即可得对以及有 由严格凸函数是定义知，是凸集D上的严格凸函数。 定理10 设 是非空凸集上的二阶连续可微函数，则若的He s s e矩阵在 D上正定，则是 D上的严格凸函数。 证明： 设的 H e s s e 矩阵在 D上正定，任取两不同点x , y D ，将 在点 x 处展开，有 （10）其中， 由在 D上的正定性以及，有代入( 9 ) 式即可得到：对任意不同的成立，知是 D上的严格凸函数。 根据这个定理就可以明白为什么前面所述的二次函数在

17、n x n 阶对称矩阵 G正定时是严格凸的，在G半正定时是凸的，在G负定时是严格凹的，在G半负定时是凹的。 例 1 判断是否为凸函数。 解： 方法一 由条件知 ， 从而得到 ：在该二次函数中，是正定的。所以是严格凸函数。 方法二 由条件得的H e s s e 矩阵是正定的，由定理，知是严格凸函数。 第二章 极值的定义及判别法2.1 一元函数极值2.1.1一元函数极值的定义定义1 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极大值，记作，是极大值点。 定义2 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有 就说是函数的一个极小值，记作=，是极小值点。极大点和

18、极小点统称为极值点; 极大值与极小值统称为极值。注1（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。（4）若在某区间内有极值,那么在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值。（5）函数在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点。一般地,当函数在某区间上

19、连续且有有限极值点时,函数在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的。（6）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。2.1.2一元函数极值的判定定理1（必要条件） 设函数在点处可导，且在点处取得极值，则函数在点的导数=0.使导数为零的点（即方程的实根），叫做的驻点。注2（1）可导函数的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点并不一定是它的极值点。例如，, =0,但不是极值点。（2）如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号。（3）不可导点也可能是极值点。当我们求得函数的驻点

20、后，还需要判定求得的驻点是不是极值。如果是，就要判定函数在该点取得极大值还是极小值。定理2（第一判别法）设函数在点的近旁可导且=0.（1）如果当时，；当时，；则在点取得极大值。（2）如果当时，；当时，；则在点取得极小值。定理3（第二判别法）设函数在存在阶导数，且,（1）是奇数，则不是函数的极值点；（2）是偶数，则是函数的极值点；当时，是函数极小点，是极小值；当时，是函数极大点，是极大值。2.1.3可导凸函数的极值问题定理4设函数为开区间上可导的凸函数，则为的极小值的充要条件是利用函数的最值得定义和费马定理可以得出此结论。证明：必要性.设是的极小值点，又因为在点上是处处可导的，可以根据费马定理知

21、，充分性.因为，则，又因为，根据定理1，知我们根据函数最值的定义，在处取得最小值。那么是内点，所以在处取得极小值，且是的极小值点。推论1 设函数为开区间上可导的凸函数，若是的稳定点，即存在，使得则在处取得极小值，是的极小值点，进而在处取得最小值，是的最小值点。证明：因为函数为开区间上可导的凸函数，所以存在上处处可导，使那么，根据引理1有根据函数最值的定义：在处取得最小值，又因为是的稳定点，所以在处取得极小值，进而在处取得最小值，是的最小值点。推论2 设函数为开区间上可导的凸函数，则，在处不取得极大值。证明：假设在处取得极大值，则由费马定理，。因为所以在处取得极小值，是的极小值点与在处取得极大值

22、矛盾，所以函数为开区间上可导的凸函数，则，在处不取得极大值。推论3 设函数为开区间上可导的凸函数，则，在处不取得最大值，即在内不取得最大值。证明：假设在处取得最大值，则由于是内点，所以在处取得最大值，与推论2中函数为开区间上可导的凸函数，则，在处不取得极大值矛盾，所以推论3成立。推论4 设凸函数为闭区间上连续，在开区间上可导，则在的端点或处取得最大值，且在上的最大值证明： 由于为闭区间上连续，所以为闭区间上可导，因此为闭区间上存在最值问题，根据最值性定理，在上取得最大值。又根据推理3，在内不取得最大值，所以的最大值只能在或处取得，且在上的最大值为通过以上我们知：可导凸函数的稳定点即是的极小值点

23、与最小值点。与此同时，可导凸函数在内部没有极大值点，从而在内不取得最大值。接下来我们讨论可导严格凸函数极值问题。有以下定理： 定理5 设函数为开区间上可导的严格凸函数，若是的稳定点，则是在上的唯一极小值点。 证明： 函数为开区间上可导的凸函数，若 是的稳定点。即存在使得则在处不取得极小值，是的极小值点，必是在上的唯一极小值点。如果不是的话，假设在上另有一个极小值点，不妨设。则由函数极值的定义，存在，当时，；当时，现任取，则有，从而 ， 注意到，且严格凸函数，因此由定理2，有 产生矛盾。所以不存在另一个极小值，故是在上的唯一极小值点。 推论5 设函数为开区间上可导的严格凸函数，且是的稳定点，是在

24、上的最小值点。证明：因为函数为开区间上可导的严格凸函数，是的稳定点，根据推论1知是的最小值点，即推论5成立。 定理5及其推论表明，可导的严格凸函数的稳定点必是在上的唯一极小值点，且是最小值点。定理5也告诉了我们可导凸函数与可导的严格凸函数的区别，就是可导凸函数的极小值点（如果存在的话）可能有一个或者无穷多个，例如常量函数=是上的可导的凸函数，它的定义域内每一点都是的极小值点。但可导的严格凸函数的极小值点（如果存在的话）只能有一个。2.1.4一般凸函数的极值问题由于在凸函数的定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设，因此一方面凸函数可能是不连续的，进而也是不可导的。例如，若令函数 则容易证明在上

25、是凸函数，但在上分别是不连续和不可导的，另一方面连续函数和可导函数也可能不是凸函数。例如在上是连续且可导的，但在上不是凸函数。这样，当在上不可导时，上述定理及其推论失效。尽管如此，对于一般凸函数，有以下定理。定理6 设函数为开区间内的凸函数，且不恒为常数，则在内不取得最大值。由函数最值得定义和以上定理3的内容可以充分证明此结果。证明：假设在处取得最大值，则由函数最值的定义，有，此时，不等式与至少有一个成立。否则，这与不恒为常数矛盾。于是由定理3，有产生矛盾。2.2 多元函数极值2.2.1多元函数极值的定义以二元函数为例定义3 设函数z=f (x, y)在点的某邻域内有定义，如果在该邻域内异于点

26、的任何点P(x, y)，都有 f (x, y) （或 f (x, y) ） 则称为函数 f (x, y)的一个极大值（或极小值），极大值和极小值统称为极值。使函数取极值的点叫函数的极值点。2.2.2多元函数极值的判定定理8（极值的必要条件）设可导函数z= f (x, y)在点取得极值，则必有 我们称使成立的点为二元函数的驻点。在偏导数都存在的条件下，函数的极值点必为驻点。但函数的驻点不一定是极值点。虽然函数的驻点不一定是极值点，但定理8为寻找可导函数的可能极值点划定了范围。我们可以先把函数的驻点都找出来，再逐一加以判别。下面介绍一个判别二元函数极值的充分条件。定理9（极值的充分条件） 设函数在

27、点的某邻域内连续且有一阶和二阶连续偏导数，点是函数z = f (x, y)的一个驻点，即记 则有（1）若B2AC0, A0,则为函数z = f (x, y) 的一个极大值；（2）若B2AC0, A0,则为函数z = f (x, y) 的一个极小值；（3）若B2AC0,则不是函数z = f (x, y) 的极值。注意：当B2AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论。为谈论二元函数 f 在点取得极值的充分条件，我们假定 f 具有二阶连续可微偏导数，并记，它称为f在的黑塞( H e s s e ) 矩阵为对称阵。 定理10 ( 极值充分条件 ) 设二元函

28、数 f 在点的某邻域内具有二阶连续偏导函数，且是 f 的稳定点，则当是正定矩阵时，f 在取得极小值；当是负定矩阵时， f 在取得极大值；当 是不定矩阵时， f 在不取极值。 分析：利用反证法通过泰勒公式和函数在单位圆的性质证明极值问题。 证明： 由f 在的二级泰勒公式，并注意到条件，有 其中，。由于正定，所以对任何，使二次型，因此存在一个与无关的q ，事实上因为，其 中，。显然是的连续函数。由于 ，因此中在单位圆上必有最小值。又因，故 q 0 。使得。从而对于充分小的， 只要，就有即 f 在点取得极小值。同理，可证为负定矩阵时 f 在取得极大值，再用反证法证明，当不定时，f 在不取极值。 例

29、1 求出函数的稳定点，其中哪一点是极小值点?哪一点是极大值点?有没有既不是极大值点又不是极小值点? 解： 由方程组得到f 的稳定点；。由 于，是不定矩阵 ， 所以 f 在不能取得极值 。 是不定矩阵 ，所以 f 在不能取得极值 。 是负定矩阵 ，所以是f的极大值点 。 是正定矩阵 ，所以是 f 的极小值点 。 所以的所有稳定点为；。其中是的极小值点，是的极大值点，与既不是的极大值点也不极小值点。第三章 凸函数与极值相关理论众所周知，有界闭区域上的连续函数一定能够取到最大值与最小值，但最大值点与最小值点可能在区域的任意点。但是对于凸函数来说，它的最大（小）值有着一些特殊的性质。定理1 设是一非空

30、有界闭凸集，是凸函数。（）若是在上的局部极小值，则是在上的最小值 ；（ii）若是严格凸函数，则它在上的最小值点是唯一的。证明：（i）若是的一个局部极小值点，则存在的一个邻域，对于，有.从而有又由是凸函数，故有移项即可得，故在上取最小值；（ii）假设在上的两点,取到最小值，即.因是凸集，故对于.又由是严格凸的，则有这与在上取最小值矛盾。定理2 有界闭凸集上的凸函数必在的边界上取到最大值。证明： 设，若则定理得证；否则，的内点，过任做一“直线”，由有界闭凸集的性质，该“直线”必与边界交于两点，设为,于是存在正数.由假设知故若，则即从而有，这与点为最大值点矛盾，故.同理.定理3 设 为有界凸多面体，

31、为的顶点，为上的凸函数，则的最大值必在的顶点上取到，即证明： 由定理2知，存在, 使设在的某一侧面上，则的顶点是的顶点中的一部分。若是的顶点，则结论已成立；若不是的顶点，设，是的顶点，则存在且由的凸性知，由此可知注1 若是凹函数，则在凸多面体上的最小值必在该多面体的顶点得到。推论1 若是有界凸多面体上的线性函数，则的最大值，最小值都在该多面体的顶点上取到。第四章 利用凸函数求解极值问题4.1 将极值问题转化为凸函数问题求解 例1 在条件的约束下，求函数的最大值和最小值。解：约束条件在平面上构成一个八边形（如图4-1）。图4-1先考虑函数,由于是一元凸函数，而是线性函数，所以有，又由于在上单调增

32、，所以至于最小值，我们注意到当的绝对值越小，的值越小，越小，故再由的单调性，有.注意，的极小值点不在八边形的顶点集上。例2 已知满足下列不等式求的最大值和最小值。解：约束条件构成的区域为下图（4-2）中以为顶点的三图4-2角形闭域.我们来证明是上的下凸函数。对于任意的，=可知是上的下凸函数。可得为求,首先注意到，对于表示点到坐标原点的距离，故从而得4.2 弓形面积的最值 下面我们通过一个例题来研究求弓形面积的最值问题。例3求抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值。解法1： 弦方程法:图4-3设过焦点的弦的方程为与联立解这个方程 ，且，这样就有了弦与抛物线围成的弓形的面积为 我们把和的值代入 通过这个得式我们观察到：当时弓形面积最小，最小面积为。解法2：极坐标方程法 取为极点，轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为 化简得 过焦点的弦的极坐标方程为，这样我们就可以得到弦与抛物线围成的弓形面积为 当时，弓形的面积最小，那么它的最小面积是。解法3： 解法1和解法2综合法我们将解法1和解法2结合起来，也