2018年1月北京市各城区导数汇编及答案

1、导数汇编 2018.1 1.DC（本小题13分）已知函数.（）求曲线在点（1，）处的切线方程；（）若对恒成立，求的最小值.2.已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求的单调区间；（）若对于任意，都有，求实数的取值范围.求证：“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件.3. CY(本小题满分13分)已知函数，.（）求曲线在点处的切线的斜率；（）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；（）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围. 4.FT（本小题共13分）已知函数（）求函数的单调区间；（）若恒成立，求实数的取值范围5（本小题共13分）已知函数（）求函数的单调区间；（）当时

2、，若在上有零点，求实数的取值范围6.HD（本小题14分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程； （）当时，求证：函数有且只有一个零点；（）当时，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）7. （本小题13分） 已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分不必要条件.8SJS（本小题共13分）已知函数（）若 ,确定函数的零点；（）若，证明：函数是上的减函数；（）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值.9（本小题共13分）已知函数.（）当时，求函数的单调区间；（）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；（）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围.10XC（

3、本小题满分13分）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）证明：在区间上恰有个零点11（本小题满分13分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；（）比较与的大小，并加以证明12TZ（本题满分13分）已知函数，.（）当时，求函数的单调区间；（）对任意的，恒成立，求的取值范围. 导数答案1.（本题满分共13分）解：（）的定义域为.由已知得，且.所以.所以曲线在点（1，）处的切线方程为. （）设，（）则. 令得.当变化时，符号变化如下表：10极小则，即，当且仅当时，.所以在上单调递增.又，所以的最小值为为.2（共14分）解：（）因为函数，

4、所以,.又因为，所以曲线在点处的切线方程为. 4分（）函数定义域为， 由（）可知，.令解得.与在区间上的情况如下：极小值所以，的单调递增区间是；的单调递减区间是. 9分（）当时，“”等价于“”.令，.当时，所以在区间单调递减.当时，所以在区间单调递增.而，.所以在区间上的最大值为.所以当时，对于任意，都有. 14分3. （本小题满分13分）解：（）. 3分（）设，.当时，则函数为减函数.又因为，,所以有且只有一个，使成立.所以函数在区间内有且只有一个零点.即方程在区间内有且只有一个实数根. 7分（）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数

5、为减函数，所以在上，即成立，函数为增函数；在上， ，即成立，函数为减函数,则函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：即解得. 13分4.（本小题共13分） 解：（）函数的定义域为， 由 ，可得 或 当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间； 当时，的变化情况如下表：+0-所以的单调递减区间是，单调递增区间是 当时，的变化情况如下表：+0-所以的单调递减区间是，单调递增区间是 （）由（）知，当时，符合题意 当时，的单调递减区间是，单调递

6、增区间是，所以恒成立等价于，即， 所以 ，所以 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即 所以 ，所以 综上所述，实数的取值范围是 6. （本小题14分）（）因为函数所以 .2分 故， .4分 曲线在处的切线方程为 .5分（）当时，令，则 .6分故是上的增函数. .7分 由，.8分故当时，当时，.即当时，当时，. 故在单调递减，在单调递增. .10分函数的最小值为 由， .11分故有且仅有一个零点. （）当时，有两个零点. .12分当时，有一个零点；.13分当时，有两个零点. .14分 7. （本题共13分）解：（）依题意， -1分所以切线的斜率 又因为， 所以切线方程为

7、y=-1. （）先证不必要性.当时，令，解得. 此时，有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立. 再证充分性.方法一：当时，.令，解得. -（i）当，即时，所以在上单调增.又，所以有且只有一个零点. （ii）当，即时，随的变化情况如下:000极大值极小值 当时，所以 -又所以有且只有一个零点. （说明：如果学生直接写出时，要扣1分）（iii）当，即时，随的变化情况如下:000极大值极小值因为，所以时， 令，则. 下面证明当时，.设，则.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以当时，取得极大值.所以当时，, 即.所以.由零点存在定理，有且只有一个零点. 综上，是函数有且只有一个零点的

8、充分不必要条件. （说明：如果学生写出下面过程，时，有且只有一个零点.要扣1分）方法二：当时，注意到时，因此只需要考察上的函数零点. （i）当，即时，时，单调递增. 又有且只有一个零点. （ii）当，即时，以下同方法一.方法三：令，显然0不是该方程的根，所以.设,则.当时，在上单调减；当时，在上单调递增.又时，时，令，则. 下面证明当时，.设，则.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以当时，取得极大值.所以当时，, 即.所以.所以当时，直线与函数的图象有且只有一个交点，即当时，函数有且只有一个零点.8（本小题共13分）解：（）当 时，则 1分定义域是，令 2分是所求函数的零点. 3分（）

9、当时，函数的定义域是， 4分所以，5分令，只需证：时， 6分又，故在上为减函数， 7分所以， 8分所以，函数是上的减函数 9分（）由题意知，且， 10分所以，即有， 11分令，则，故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，即方程有唯一实根，所以 13分9（本小题共13分）解：（）当时，得.1分因为=，所以当时，函数单调递增；当或时，函数单调递减所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和 .4分（）由，得因为对于任意都有成立，即对于任意都有成立，即对于任意都有成立，设,则等号成立当且仅当即.所以实数的取值范围为 .9分（）设点是函数图象上的切点，则过点的切线的斜率为，所以过点的切线方程为因为点在切线

10、上，即若过点可作函数图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解令，则函数与轴有三个不同的交点令，解得或因为，所以必须，即所以实数的取值范围为 . .13分10（本小题满分13分）解：（）当时，所以 2分因为， 4分所以曲线在点处的切线方程为 5分（） 6分由 ，得 7分因为，所以 8分当时，由，得所以存在唯一的，使得 9分与在区间上的情况如下：极大值所以在区间上单调递增，在区间上单调递减11分因为，12分且，所以在区间上恰有2个零点13分11（本小题满分13分）解：（）函数的定义域是，导函数为 1分所以，又，所以曲线在点处的切线方程为 3分（）由已知 4分所以只需证明方程在区间有唯一解即方程在区间有唯一解 5分设函数， 6分则当时，故在区间单调递增 7分又，所以存在唯一的，使得 8分综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为 9分（）证明如下：10分首先证明：当时，设，11分则当时，所以，故在单调递增，12分所以时，有，即当时，有所以1