（江西专用）2014年高考数学一轮复习 8.5 圆锥曲线的综合应用课件 文 新人教A版

1、,一、定值、最值、取值范围问题,8.5圆锥曲线的综合应用,1.在圆锥曲线中,还有一类曲线系方程,对其参数取不同值时,曲线本身的性质不变;或形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着,这就是我们所指的定值问题.,2.当参数取不同值时,相关几何量达到最大或最小,这就是我们指的最值问题.通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题.曲线遵循某种条件时,参数有相应的允许取值范围,即我们指的参变数取值范围问题.求解时有以下两种方法:,(1)代数法:引入参变量,通过圆锥曲线的性质,及曲线与曲线的交点理论、韦达定理、方程思想等,用变量表示(计算)最值、范围问题

2、,再用函数思想、不等式方法得到最值、范围;,(2)几何法:若问题的条件和结论能明显地体现曲线几何特征,则利用图形性质来解决最值与取值范围问题.,二、对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题,它涉及线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以,及定点、定值问题的判断方法.,三、实际应用题,涉及与圆锥曲线有关的应用问题,解决的关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:,四、与其他知识的综合,圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块命题.,1.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的 最大值

3、为(),(A)2.(B).(C) .(D) .,【解析】设直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由 消去y得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则有x1+x2=-t,x1x2= .,|AB|= |x1-x2|,= = ,又=(8t)2-454(t2-1)=80-16t20,-t.当t=0时,|AB|max = .,【答案】C,2.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q,已知O为坐标原点,则POQ的面积为定值.,【解析】如图,双曲线x2-y2=4的两条渐近线为y=x,即xy=0.,又|PQ|= ,|PR|= ,所以SPOQ=|PQ|PR|=

4、 =1.,【答案】1,3.某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,则其中最长的支柱的长为米.,【解析】以拱顶为原点,水平线为x轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B坐标分别为(-10,-4)、(10,-4),设抛,物线方程为x2=-2py,将A点坐标代入,得100=-2p(-4),解得p= 12.5,于是抛物线方程为x2=-25y.,由题意知E点坐标为(2,-4),E点横坐标也为2,将2代入x2=-25y,得y=-0.16,从而|EE|=(-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.,【答案】3.84,题型1最值与取

5、值范围问题,例1(1)已知点P为抛物线y2=4x上一个动点,l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1、l2的距离之和的最小值为(),(A)2 .(B)4.(C) .(D) +1.,(2)双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为,离心 率为e,则 的最小值为(),(A) .(B) .(C)2 .(D)2 .,【分析】(1)由于直线l1:x=-1刚好是抛物线y2=4x的准线,所以可以将点P到直线l1的距离转化为到抛物线焦点的距离,然后数形结合,利用平面几何知识求解;(2)由双曲线中的a,b,离心率与渐近线斜率的关系,可求得离心率e,消去b,转化为一元函数最值问题求解.,的距离,

6、过点F作直线l2垂线,交抛物线于点P,此即为所求最小值点,故P到两直线的距离之和的最小值为 =2 ,故选 A.,(2)由题意知tan=,即b= a,e= = =2,所以 = + 2 = ,当且仅当 = 即a= 时取等号.,【解析】(1)将P点到直线l1:x=-1的距离转化为P到焦点F(1,0),【答案】(1)A(2)A,【点评】在圆锥曲线中经常遇到求最值、取值范围问题,这类问题在题目中往往没有给出不等关系,需要我们去寻找.求圆锥曲线的最值与范围问题是高考考查的一类重要问题,求解时常用两种方法:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题

7、转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式,法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等,求解最大或最小值.,变式训练1抛物线y2=12x上的点到直线3x-y+5=0的最小距离为(),(A) .(B) .(C) .(D) .,【解析】(代数法)设抛物线y2=12x上的任一点为(,y),则它 到直线3x-y+5=0的距离d= = (-1)2+4 = ,即所求最小距离为 .,(几何法)设与直线3x-y+5=0平行的抛物线的切线方程为直线为3x-y+t=0,代入抛物线方程得y2-4y+4t=0,由=16-16t=0,解得t=1,从而切线方程为3x-y+

8、1=0.,直线3x-y+5=0与直线3x-y+1=0的距离就是所求最小距离,即为 = .,【答案】B,题型2定值、定点、对称问题,例2已知椭圆C的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好 是抛物线y=x2的焦点,离心率等于 .,(1)求椭圆C的方程;,(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.若 =1 , =2 ,求证:1+2为定值.,【分析】根据椭圆的性质与方程之间的关系,求得椭圆的方程,设出点A,B,M的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(0,y0),然后通过,=1 , =2 ,用参数1,2,y0表示出A、B的坐标,代入椭圆 方程整理并比较,可以发现1,2是一个一元

9、二次方程的两个根,再用根与系数间的关系即可求解.,【解析】(1)设椭圆C的方程为+=1 (ab0),则由题意得 b=1., = ,即 = ,所以a2=5.,故椭圆C的方程为+y2=1.,(2)设点A,B,M的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(0,y0).易知点F的坐标为(2,0)., =1 ,(x1,y1-y0)=1(2-x1,-y1),则x1= ,y1= .,将点A的坐标代入到椭圆方程中,得( )2+( )2=1,化简得 +101+5-5=0.,同理,由 =2 得 +102+5-5 =0,所以1,2是方程x2+10 x+5-5=0的两个根,1+2=-10.,【点评】在解决圆锥曲线的

10、定点与定值问题时,应灵活应用已知条件,巧设变量,在变形过程中要注意各变量之间的关系,善于捕捉题目的信息,注意消元思想在解题中的应用.,变式训练2已知椭圆C:3x2+4y2=12,试确定m的取值范围,使得对于直线l:y=4x+m,椭圆C上有不同的两点关于这条直线对称.,【解析】设存在两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于l对称,中点为M(x,y),则,得 =- =- =-,y=3x.联立y=4x+m,解得x=-m,y=-3m.,M在椭圆内部, + 1,即- m .,题型3实际应用问题,例3已知A、B、C是我方三个炮兵阵地,如图,A在 B的正东,相距6 km,C在B的北偏西30相距4 km,P

11、为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某处信号,由于B、C两地比A距P远,因此4 s后,B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为1 km/s),A若炮击P地, 求炮击的方位角.,【分析】建立坐标系,因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上,写出中垂线的方程,又|PB|-|PA|=4,故P在以A、B为焦点的双曲线右支上,写出双曲线方程,将这两个方程联立方程组,解出交点P的坐标,由PA斜率计算炮击的方位角.,【解析】以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系,则A、B、C的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 ),由于B 、C同时发现信号,|PB|=|PC|.

12、,P在线段BC的中垂线上,其方程为x-3y+7=0.,又A、B发现信号的时间差为4 s,|PB|-|PA|=4.,故P在双曲线-=1的右支上,联立直线方程与双曲线方程,易求得直线与双曲线交点为P(8,5),此即敌炮阵地的位置, 由A(3,0),P(8,5)得AP斜率k=.,炮击的方位角为东偏北60.,【点评】数学应用题是高考数学中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等.双曲线在现实生活中有着广泛的应用,解答双曲线应用题的关键,是要分析实际问题中的数学关系,将文字语言

13、转化为数学语言,建立出恰当的模型,转化为数学问题来解决,最后再把数学的结果转化为实际结果.,变式训练3为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 km的A,B两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图).考察范围为到A,B两点的距离之和不超过10 km的区域.,(1)求考察区边界曲线的方程;,(2)如图所示,设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 km,以后每年移动的距离为前一年的2倍.问:经过多长时间,点A恰好在冰川边界线上

14、?,轴长b= =3.所以考察区域边界曲线(如图)的方程为+ =1.,【解析】(1)设边界曲线上点P的坐标为(x,y),则由|PA|+|PB|=10知,点P在以A,B为焦点,长轴长为2a=10的椭圆上.此时短半,因此点A到直线P1P2的距离为d= =.,设经过n年,点A恰好在冰川边界线上,则利用等比数列求和公式可得 =.,解得n=5,即经过5年,点A恰好在冰川边界线上.,(2)易知过点P1,P2的直线方程为4x-3y+47=0.,1.解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目

15、的.,(1)对于圆锥曲线的参数的最值、取值范围问题,常见的解法有两种:几何法和代数法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先,建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.,在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:,利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;,利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;,利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范,围;,利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;,用函数的值域的求法

16、,确定参数的取值范围.,(2)定值、定点问题的处理方式一般有两种:一是从特殊点入手,求出定点(值),再证明这个点(值)与变量无关;二是直接推理计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点(值).,2.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程的目的.,(1)方程思想,解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,会减少解题运算量.,(2)巧用函数思想方法,对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效.

17、,(3)掌握坐标法,坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练.,(4)对称思想,利用圆锥曲线和圆都具有的对称性质,可使分散的条件相对,集中,减少一些变量和未知量,简化计算,提高解题速度,使问题更快解决.,(5)参数思想,参数思想是辩证思维在数学中的反映,对参数的引入,通常用来划分曲线运动变化状态,将圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设出,此时可将参数视为常量,以相对静止来控制变化,通过变与不变的转化,在解题过程中将其消去,从而起到,“设而不求”的效果.,除上述常用数学思想外,转化思想、数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法,复习也应给予足够的重视.,例设椭圆的中

18、心是坐标原点,长轴在x轴上,离心 率e=.已知点P(0,)到这个椭圆上的最远距离是,求这个 椭圆的方程.,【错解】依题意可设椭圆方程为+=1(ab0),则e2= =1-=,所以=,即a=2b.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+,=-3(y+)2+4b2+3.,所以当y=-时,d2有最大值,从而d也有最大值.,所以4b2+3=( )2,由此解得b2=1,a2=4.,于是所求椭圆的方程为+y2=1.,【剖析】尽管上面解法的最后结果是正确的,但这种解法却是错误的.结果正确只是碰巧而已.由当y=-时,d2有最大值, 这步推理是错误的,没有考虑

19、y的取值范围.事实上,由于点(x,y)在椭圆上,所以有-byb,因此在求d2的最大值时,应分类讨论.,则e2= =1-=,所以=,即a=2b.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则d2=x2+(y-)2=a2(1-)+y2-3y+,=-3(y+)2+4b2+3.,若b,则当y=-b时,d2(从而d)有最大值.,【正解】依题意可设椭圆方程为+=1(ab0),于是( )2=(b+)2,从而解得b= -,与b矛盾.所以必有b ,此时当y=-时,d2(从而d)有最大值,所以4b2+3=()2,解得 b2=1,a2=4.,于是所求椭圆的方程为+y2=1.,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),

20、1.(基础再现)设O为坐标原点,抛物线y2=4x与过焦点的直线交于A、B两点,则 等于(),(A)-.(B).(C)-3.(D)3.,【解析】可用特殊值法,令x=1,有A(1,2),B(1,-2), =11+2(-2)=-3.,【答案】C,2.(视角拓展)P是双曲线-=1右支上的一点,M、N分别是 圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 (),(A)6.(B)7.(C)8.(D)9.,与对应圆的交点时,所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|+2)- (|PF2|-1)=23+2+1=9,故选D.,【答案】D,【解析】设双曲线的两个焦点

21、分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线且M在PF1的延长线与圆的交点,N为PF2,3.(视角拓展)在平面直角坐标系中,椭圆+=1(ab0)的焦 距为2.以O为圆心,a为半径作圆.过点(,0)所作圆的两条切 线互相垂直,其中c2=a2-b2,则椭圆的离心率e为(),(A).(B).(C).(D).,所以四边形MPOQ是正方形.,又因为c=1,所以()2=2a2.,整理得a= .故e= = .,【答案】A,【解析】设点M(,0),两个切点分别为P,Q.,因为|MP|=|MQ|,MPMQ,4.(视角拓展)已知椭圆+=1

22、(ab0),A(2,0)为长轴上的一 个端点,弦BC过椭圆的中心O,且 =0,| - |=2| - |,则 椭圆的焦距为(),(A).(B).,(C).(D)以上答案都不对.,由| - |=2| - |,得2| |=2| | |=| |,则C(1,1),代入椭圆方程得+=1.,又a=2,b2=,c2=4-=,c= ,2c= .,【答案】C,【解析】 =0ACBCC=90.,5.(高度提升)已知A、B为椭圆C: + =1的长轴的两个端 点,P是椭圆C上的动点,且APB的最大值是,则实数m的 值是(),(A)1.(B).(C).(D).,【解析】由椭圆知识得,当点P位于短轴的端点时,APB取得最大

23、值,根据题意则有tan = m=.,【答案】B,6.(基础再现)设点F为椭圆+=1的左焦点,点P是椭圆上的 动点,则使|取得最小值时点P的坐标为.,【解析】由条件,可得c2=a2-b2=4,故左焦点F的坐标为(-2,0),设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为+=1,故-4x 4.,二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),由二次函数性质可知,当x=-4时,| |2取得最小值4.所以| |的 最小值为2,此时点P坐标为(-4,0).,【答案】(-4,0),因为 =(x+2,y),所以| |2=(x+2)2+y2=(x+2)2+12(1-)=x2+4x+16=(x+8)2,x-4,4.,7

24、.(视角拓展)已知直线x=t与双曲线-=1(a0,b0)的两条 渐近线分别交于A,B两点,若原点在以AB为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是.,【解析】由题意可得A(t,t),B(t,-t),要使原点在以AB为直径 的圆外,只需原点到直线AB的距离|t|大于半径|t|即可,于是b a,e= = ,故1e .,【答案】(1, ),8.(高度提升)过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=8,O为坐标原点,则OAB的重心的横坐标为.,【解析】(法一)由题意知抛物线焦点F(1,0).,设过焦点F(1,0)的直线为y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).

25、代入抛物线方程消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.,k20,x1+x2= ,x1x2=1.,|AB|=,=,= =8,k2=1.,OAB的重心的横坐标为x= =2.,(法二)AB过抛物线y2=4x的焦点,由抛物线的定义可得|AB|=xA+xB+2=8,所以xA+xB=6,OAB的重心的横坐标为 =2.,【答案】2,9.(能力综合)直线l的方程为y=x+3,P为l上任意一点,过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为.,【解析】设F1,F2为椭圆的左、右焦点,由双曲线的焦点,得 F1(-1,0),F2(1,0).,由于|PF1|+|PF2|=2

26、a,当2a最小时,|PF1|+|PF2|最小.,因此问题转化为在直线l上求一点P,使|PF1|+|PF2|最小,最小,值为2a.,易求得点F1关于直线l的对称点为F1(-3,2),则|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=|F1F2|= =2=2a,故a=.又c=1,则b2=4,即所求椭圆的方程为+=1.,【答案】+=1,10.(基础再现)已知M(4,0),N(1,0),若动点P满足 =6| |.,(1)求动点P的轨迹C的方程;,(2)设Q是曲线C上任意一点,求Q到直线l:x+2y-12=0的距离的最小值.,三、解答题(本大题共3小题,每小题14分),化简得:3x2+4y2=12,即+=1.,点P的轨迹方程是椭圆C:+=1.,(2)由几何性质意义知,直线l与平行于它的椭圆C的切线l