高二数学简单的线性规划2.ppt

1、,高中数学第二册(上),7.4 简单的线性规划(2) 线性规划,引例,设z = 2x + y，式中变量x、 y满足下列条件 求z的最大值和最小值,分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域,分析：不等式组表示的区域是图中的ABC,从图上可看出，点(0，0)不在以上公共区域内，当x = 0，y = 0时，t = 2x + y = 0 点(0，0)在直线l0：2x + y = 0上,作一组与直线l0平行的直线(或平行移动直线l0)l：2x + y = t，t R 可知，当在l0的右上方时，直线上的点(x，y)满足2x +

2、 y 0，即t 0,而且, 直线l往右上平移时, t随之增大 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的t最大，,l2,以经过点B(1，1)的直线l1所对应的t最小所以：zmax = 2 5 + 2 = 12，zmin = 2 1 + 3 = 3,l2,l1,在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件z = 2x + y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数由于z = 2x + y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数

3、,线性规划的有关概念：,注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题例如： 我们刚才研究的就是求线性目标函数z = 2x + y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题,线性规划的有关概念：,满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域其中可行解(5，2)和(1，1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解,线性规划的有关概念：,例1已知x、y满足 ， 试求z = 300 x + 90

4、0y的最大值,典型例题：,分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z = 300 x + 900y取最大值时的点,例1已知x、y满足 ， 试求z = 300 x + 900y的最大值,典型例题：,解：作出可行域，见图中四边形AOBC表示的平面区域,典型例题：,作出直线l0：300 x + 900y = 0，即x + 3y = 0， 将它平移至点A， 显然，点A的坐标是可 行域中的最优解，它使 z = 300 x + 900y达到最大值 易得点A(0，125)，所以 z max = 3000 + 900125 = 112500,l0：x + 3y = 0,2x + y = 300,解线性规划

5、问题的基本步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找出最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值,典型例题：,变题1：在例1中，若目标函数设为z = 400 x + 300y，约束条件不变，则z的最大值在点C处取得,l0：4x + 3y = 0,2x + y = 300,变题2：若目标函数设为z = 300 x + 600y，约束条件不变，则z的最大值可在线段AC上任一点处取得等等,事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数z = ax + by(a 0，b 0)所确定的直线l0：ax + by = 0的斜率( )有关 就本例而

6、言，若 = (直线x + 2y = 250的斜率)，则线段AC上所有点都使z取得最大值(如：z = 300 x + 600y时)；,当 0时，点A处使z取得最大值(比如：例1)；当 2 时，点C处使z取得最大值(比如：z = 400 x + 300y时)， 其它情况请同学们课外思考,例2 求z = 600 x + 300y的最大值，使式 中的x，y满足约束条件 ,典型例题：,分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解,2x + y = 0,z max = 60070 + 300900 = 69000,例3 已知x、y满足不等式组 求z = 3x + y的最小值,典型例题：,分析：可先找出可行

7、域,平行移动直线l0：3x + y = 0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值.,z min = 1,l0：3x + y = 0,1满足线性约束条件 的可行域内共有_个整数点,4,2设z = x y，式中变量x，y满足 求z的最大值和最小值,z max = 1， z min = 3,练习：,小结,3教材P64练习1： (1) 求z = 2x + y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件,练习：,小结,z max = 3,3教材P64练习1： (2) 求z = 3x + 5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件,练习：,小结,z max = 14， z min = 11.,小结,用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1根据线性约束条件画出可行域(即不等式组所表示的公共区域