数学物理方法课件：07第7章 一维波动方程的傅里叶解

1、第二篇 数学物理方程,一维波动方程的傅里叶解 热传导方程的傅里叶解 拉普拉斯方程的傅里叶解 波动方程的达朗贝尔解 数学物理方程解的积分公式 傅里叶变换,符号约定,对多元函数 u(x, y, z, t)，约定：,梯度算符,拉普拉斯算符,沿着 x, y, z 方向的单位矢量,二维情形：,三维,数理方程：从物理问题中导出、反映客观物理量 在各个时空点之间相互制约关系的偏微分方程,三类数理方程,波动方程,扩散方程,泊松方程,a-波速；D-扩散系数；f：策动力、扩散源；：电荷密度,双曲型,抛物型,椭圆型,三类方程均为二阶线性偏微分方程,数学物理方程,*KdV 方程(非线性)：(1895, first 1

2、877),*薛定谔方程：,波函数一般为复数！,单个孤波：,(2) 求解,用数理方法研究物理问题的步骤,(1) 写出定解问题,定解问题 = 泛定方程(共性) + 定解条件(个性),(3) 分析解的物理意义及适定性,适定性：指解是存在的、唯一的、稳定的,行波法、分离变量、积分变换、格林函数、保角变换、变分法、数值计算 ,第七章 一维波动方程的傅里叶解,弦振动方程的建立 波动方程混合问题的分离变量法 非齐次波动方程的求解,波动方程的建立方法,边值条件、初值条件的提法,作业：习题七 3, 5, 10, 14,一维齐次、非齐次波动方程的解法,1.弦振动方程,长为 l 、线密度为的柔软细弦，,以张力 T0

3、 拉紧。,相对平衡位置作微小横振动 u(x,t)。,问题描述,弦上质元用其平衡位置 x 标记，,求弦上各质元的运动规律。,柔软性：,弦中的张力总是沿着弦线的切线方向,7.1 弦振动方程的建立,分析一小段弦 x-x+x 的受力,水平方向无振动 ,沿横向各个力的分量：,外力密度,积分中值定理,两边除以 x，然后取极限x0:,沿横向的动量定理：,中值定理,弦振动的泛定方程,u(x,t) x 处的质元在 t 时刻相对平衡位置的位移,f(x,t) t 时刻 x 处单位质量所受的横向外力,T0 初始张力，质量线密度,弦中横波的波速,弦的松紧,弦的材质,弦自由振动 一维波动方程,2.棒中的纵波,自由状态,变

4、形后：,x,x + x,u(x,t),u(x+x,t),原长,伸长,x 0，,应变：,x 端受力：,x,x + x,动量定理：,中值定理,(3) 化简、整理，得到数理方程。,建立数理方程的步骤,(1) 在求解区域中分出任意一小块，考虑其 与邻近部分的关系；,(2) 根据物理学规律，列出方程；,三维波动方程,其它模型：理想传输线的电报方程 (7.3) 电磁场的达朗贝尔方程 ,定解条件 = 初始条件 + 边界条件,例：谐振子方程,泛定方程不足以确定物理量的分布,通解,定解条件：,确定微分方程通解中的任意常数或任意函数，需要恰当的附加条件,3.定解条件,初始条件,整个系统初始状况的表达式称为初始条件

5、,对弦振动，泛定方程为,需给出弦在初始时刻 t=0 的位移和速度：,对物理量的稳态分布，无初始条件,泛定方程出现时间的 n 阶偏导数时需要 n 个初始条件,例1：将静止的弦上提 h 后松手，,0,l,l/2,x,u(x,0),h,写出初始条件,泛定方程为,要定解还需给定边界条件,边界条件,物理过程在系统边界状况的表达式称为边界条件,第一类边界条件 (Dirichlet)：,第二类边界条件 (Neuman)：,第三类边界条件 (Robin)：,t 时刻 u 在边界点 处的外法向偏导数,齐次边界条件：,例2：一维弦振动的边界条件,(1) 弦的两端固定：,(2) 弦的右端 x=l 施加外部横向力 F

6、l：,(4) 在 x=l 安置垂直于 x 轴的弹簧 (劲度系数为 k)， 弦的右端固定在弹簧自由端：,弹性支撑边界条件,(3) 弦的两端自由：,例3：杆作纵振动的边界条件,(1) 杆的两端固定：,(2) 杆的右端 x=l 受外力 F：,(4) 杆的右端 x=l 与劲度系数为 k 的弹簧相连， 左端 x=0 固定,(3) 杆的两端自由：,定解的其它条件,(1) 系统由不同部分组成，衔接处有衔接条件：,不同材料组成的杆，其衔接处位移和应力连续：,两种电介质的交界面 S 上：,电势连续：,电位移的法向分量连续：,例：Euler 方程,(2)自然边界条件：,物理量的有限性、单值性、周期性等决定的条件,

7、在 0, r0 上的有界解具有形式,在 r0, ) 上的有界解具有形式,通解为,有幂函数解,三类定解问题,初值问题 (柯西问题)： 系统无边界,边值问题：方程与时间无关,混合问题：既有边界条件，又有初始条件,7.2 齐次方程混合问题的傅里叶解,问题的特征：齐次方程 + 齐次边界条件,求解思路：先处理泛定方程和齐次边界条件， 得到足够多的特解。,虽然每个特解可能不满足其它定解条件，但它们的某个线性组合可能满足这些条件,带入齐次泛定方程：,该式左边只是 t 的函数，右边只是 x 的函数,只有两边都是常数时，等式才能成立！,带入齐次边界条件：,1.寻找变量分离形式的特解,满足,求解辅助的本征值问题,

8、定义：设在某齐次常微分方程中有待定常数 。 若只有在 取某些特定的值时，该方程在给定边界条件下才有非零解，则称这些特定的值及相应的解为该方程在给定边界条件下的本征值和本征函数,=0 不是本征问题 I 的本征值：,通解,回顾：二阶常微分方程,有指数函数解,通解为,(可能为复数),0 时,通解为,或,本征值,本征函数,本征问题,0 时,求解时间函数 T(t),特解的物理意义,驻波：具有 n+1 个波节，固有圆频率,x,0,l,u,初始条件 (3) 待定系数：,2.待求解展开为特解的叠加,两边乘 后，,在 0, l 上积分 Cm, Dm,本征函数的正交性：,例4：求两端固定弦的自由振动，初始条件为,

9、初速度为零,解：,分离变量法得出解的一般形式,对奇数 n，计算积分,回顾：周期函数的 Fourier 级数,设函数 f(x) 有周期 2l，在每个周期内只有有限个第一类间断点和极值点 (Dirichlet 条件)，则在 -l, l 上有 Fourier 级数展开：,展开系数,三角函数序列的正交归一性,求展开系数：,两边乘 或 后，,在 -l, l 上积分,将 0, l 上 f(x) 连续的函数 f(x) 延拓,周期延拓：,(1) 若 f(0) = f(l) = 0，,选 T=2l 的周期奇延拓,(2) 若 f (0) = f (l)=0，,为周期 T 的函数，要求延拓后的 f(x) 连续。,选

10、 T=2l 的周期偶延拓,f(l) = 0f(0) = 0,本征函数组的完备性,满足 f(0) = f(l) = 0 的连续函数 f(x) 总可展开为,满足 f(0) = f(l) = 0 的连续函数 f(x) 总可展开为,3.分离变量法的基本步骤,1) 齐次边界条件 & 齐次方程 ,2) 齐次边界条件 & X(x) 满足的微分方程 ,本征值 n、本征函数 Xn(x),3) 对本征值 n，求解 T(t) 满足的微分方程 ,4) 将一般解写为变量分离的特解的叠加,由初始条件求出待定系数,线性独立的解,(正交、完备),7.4 非齐次波动方程的求解,1.齐次边界条件下的强迫振动,齐次方程的通解,回顾

11、：常数变易法,非齐次方程有特解,待定函数满足,有界弦的强迫振动,泛定方程非齐次时，一般不能直接分离变量,齐次固定边界条件下，自由振动解的形式,固有圆频率,借鉴常数变易法求解,设,初值,两边乘 后，,在 0, l 上积分 ,变易常数满足的微分方程,定义函数,求解变易常数,可按本征函数 Xn(x), nN 展开,本征函数展开法：满足固定边界条件的解,齐次固定边界条件下，本征函数为,本征函数组的完备性 ,本征函数展开法,带入泛定方程 (1)：,本征函数的正交性 ,带入初始条件 (3) ,常数变易法 (或 Laplace 变换法) ,本征函数法的基本步骤：,1. 用分离变量法求对应的齐次方程在齐次边界

12、 条件下的本征函数,2. 将未知函数按求得的本征函数展开，展开系数 为另一变量的函数。带入非齐次方程和其它 定解条件，得出待定函数满足的常微分方程及 初始条件,3. 用常数变易法 (或 Laplace 变换法) 求解此 常微分方程,将 带入,例5：求解定解问题,解：,(1) 对齐次方程在齐次边界条件下分离变量,本征函数,本征值,(2) 待求解按本征函数展开,带入非齐次泛定方程及初始条件：,比较展开系数,2.非齐次边界条件的处理,非齐次边界条件下不能分离变量！,选择辅助函数 U(x, t)，使 满足齐次 边界条件 ,用本征函数法求解,辅助函数的选择,直线辅助函数,抛物线辅助函数,例6：静止紧绷的弦，左端 x=0 固定，右端 x=l 从 t=0 开始作周期运动 sin(t) ，求弦振动,解：,(2) 选辅助函数,(1) 定解问题,计算展开系数 (分部积分)：,固定边界条件下强迫振动解,问题的解：,共振解：,另解：选辅助函数,