第六章-用有限单元法解解平面问题

1、,用有限单元法解平面问题,数值方法,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,工程中大多数问题, 荷载及边界条件都十分复杂, 难以求出函数式解答, 只能通过数值方法求解.,常用的数值方法有差分法、变分法、有限元法、边界元法.,数值方法,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,数值方法是近似方法, 通过将微积分转化为四则运算,微分方程变为代数方程, 降低求解难度.,0,3,1,h,差分法,一个连续的函数被打散成若干结点值,与解析法比较,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,* 可求解复杂问题(优点);,* 解答是数值, 不是函数, 不能推导出公式, 不便于工程求解;,* 解答是近似的, 不是精确的;,* 解

2、析解是唯一的, 数值解不唯一(与网格疏密等因素有关) ;,* 数值解计算量大, 依赖于计算机和算法的发展.,* 具有通用性(优点);,有限元法(Finite Element Method),6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,简称FEM, 是偏微分方程的数值近似解法, 求解能力最强.,首先将连续体变换为离散化结构, 然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解.,FEM特点,(1) 具有通用性和灵活性;,(2) 对同一类问题, 可以编制出通用程序, 应用计算机进行计算;,(3) 只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度.,FEM简史,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,FEM是上世纪中

3、期才出现, 并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法:,1943年, 柯朗第一次提出了FEM的概念.,1956年, 特纳等人提出了FEM .,20世纪50年代,平面问题的FEM建立,并应用于工程问题.,1960年提出了FEM的名称.,20世纪60年代后, FEM应用于各种力学问题和非线性问题,并得到迅速发展.,1970年后, FEM被引入我国, 并很快地得到应用和发展., FEM的主要导出方法,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,应用静力方法或变分方法导出.,本章介绍平面问题的FEM,仅叙述按位移求解的方法;,且一般都以平面应力问题来表示., 基本量矩阵表示,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,

4、体力:,位移:,应变:,应力:,面力:, 基本方程矩阵表示,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,几何方程:,物理方程:,简写,D为弹性矩阵, 平面应力问题:,平面应变问题, 虚功原理,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,弹性体在发生虚位移的过程中, 外力对虚位移所做的功, 等于虚应力在虚应变上所做的虚功.,外力虚功 = 虚变形能,f,f,x,y,O,虚功原理可建立任意弹性体整体的外力与位移、内力关系., 虚功原理,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,f,f,x,y,O,虚位移:,虚应变:,虚功方程(函数形式) :, 虚功原理,6-1 基本量及基本方程的矩阵表示,虚功(结点值形式) :,在有限单

5、元法中, 作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的集中力代替.,集中力:,虚位移:,虚功方程(结点值形式) :,有限单元法,6-2 有限单元法的概念,将连续体离散成有限个单元, 然后再用结构力学的整体方法求解.,分析过程,3.整体分析.,1.将连续体变换为离散化结构;,2.单元分析;,1.结构离散化,6-2 有限单元法的概念,将连续体变换为离散化结构;,深梁,将连续体划分为有限多个、有限大小的单元, 并使这些单元仅在一些结点处用铰连结起来,构成离散化结构.,深梁 (离散后),1.结构离散化,6-2 有限单元法的概念,6-2 有限单元法的概念,与结构力学桁架的区别:,桁架,结构力学研究对象是杆系

6、结构, 弹性力学研究对象是连续体;,结构力学单元是杆件, 弹性力学单元是多边形块体;,桁架各单元(杆件) 之间除结点铰结外, 没有其他联系.,深梁 (离散后),空,实,1.结构离散化,6-2 有限单元法的概念,单元类型:,三节点三角形单元,六节点三角形单元,四节点四边形单元,八节点四边形单元,* 平面问题中, 常采用三角形和四边形单元;,* 三角形单元对复杂形状物体拟合性好(网格算法简单), 四边形单元计算精度高;,* 单元形状可以任意, 单元结点数越多,精度越高;,* 三角形和四边形单元可以混合使用.,1.结构离散化,6-2 有限单元法的概念,2.单元分析,每个三角形单元仍然假定为连续的、均

7、匀的、各向同性的完全弹性体. 因单元内部仍是连续体. 应按弹性力学方法进行分析.,(1) 以单元结点位移为基本未知量,位移法,结点位移列阵,已知结点位移，如何求单元内任意点位移？,6-2 有限单元法的概念,2.单元分析,(2) 对位移函数进行插值,插值公式以结点位移值组成的函数, 代替原位移函数, 也就是对位移函数做近似处理.,插值公式称为位移模式, 插值函数称为形函数, N称为形函数矩阵.,6-2 有限单元法的概念,2.单元分析,(3) 由几何方程求单元应变,B: 应变与位移关系矩阵,(4) 由物理方程求单元应力,S: 应力转换矩阵,6-2 有限单元法的概念,2.单元分析,(5) 由虚功方程

8、, 由应力求单元结点 力,结点对单元的作用力, 作用于单元, 称为结点力, 以正方向为正.,单元对结点的作用力, 与Fi 数值相同,方向相反.,6-2 有限单元法的概念,2.单元分析,单元结点力:,由虚功方程求结点力:,k: 单元刚度矩阵,结点力与结点位移关系,(5) 由虚功方程, 由应力求单元结点 力,6-2 有限单元法的概念,2.单元分析,(6) 由虚功方程,将外荷载化为等效结点荷载,面力,体力,等效单元结点荷载,6-2 有限单元法的概念,3.整体分析,(7) 根据各结点平衡方程, 组成整个结构的平衡方程组.,1,2,3,4,5,6,i,环绕结点所有单元移置而来的结点荷载FLi要和结点力F

9、i平衡:,表示对环绕i结点的单元求和, n为计数结点总数.,结点外荷载FLi为已知量; 结点力Fi包含基本未知量, 结点位移.,6-2 有限单元法的概念,3.整体分析,(7) 根据各结点平衡方程, 组成整个结构的平衡方程组.,1,2,3,4,5,6,i,将上式组装, 得整体平衡方程组:,K: 整体刚度矩阵,FL: 整体结点荷载列阵,: 整体结点位移列阵,材料属性、几何形状、网格属性为已知量,外力为已知量,结点位移, 基本未知量,6-2 有限单元法的概念,总结,3.整体分析,2.对单元进行分析,1.将连续体变换为离散化结构（1）,归纳起来，FEM分析的主要步骤：,（2）单元的位移模式,（3）单元

10、的应变列阵,（5）单元的结点力列阵,（6）单元的等效结点荷载列阵,（7）建立整体平衡方程组，求解各结点的位移。,（4）单元的应力列阵,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,已知结点位移, 如何求单元内任意点位移, 以及单元内任意点应力、应变？,精确的位移函数不能确定,用什么样的近似函数代替？,ui,uj,um,uP= ?,u近似 (x, y) u精确 (x, y),u近似 (x, y) = ？,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,位移模式,用插值公式表示了单元中位移的分布形式, 因此称为位移模式;,位移插值函数在结点上必须等于结点的位移值.,u (xi, yi) = ui,ui,uj,um,

11、u (x, y),u (xj, yj) = uj,u (xm, ym) = um,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,插值函数,i,j,m,三结点三角形单元可以坐标的线性函数作为插值函数.,位移函数等于结点位移值,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,插值函数,i,j,m,形函数,三角形面积,i, j, m必须逆时针,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,形函数,ui,uj,um,u (x,y),Ni, Nj, Nm表明位移在单元ijm内的分布形态, 称为形函数.,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,形函数几何意义,Ni,O,i,j,m,Nj,Nm,i,j,m,三角形单元形函数是单元各点的

12、面积坐标.,i,j,m,i,j,m,O,O,O,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,形函数性质,i,j,m,i,j,m,只在顶点成立,对单元各点均成立,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,形函数性质,i,j,m,ij中点,i,j,m,三角形形心,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,形函数性质,1,ui,uj,um,vi,vj,vm,形函数性质决定位移模式, 形函数为x, y的线性函数, 故三结点三角形单元位移模式也为线性函数.,Ni(x, y),u(x, y),v(x, y),线性单元精确度低, 可通过减小单元尺寸或采用高精度单元方法改善.,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,位移模式

13、矩阵表示,位移模式矩阵表示：,简写形式：,位移列阵：,形函数矩阵：,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,解答的收敛性,当单元尺寸趋于0时, 为使FEM解逼近于真实解(保证收敛性), 位移模式应满足下列条件:,FEM以后的一系列工作,都是以位移模式为基础;,(1) 位移模式必须能反映单元的刚体位移,(2) 位移模式必须能反映单元的常量应变,(3) 位移模式应当尽可能反映位移的连续性,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,位移模式验证,三结点三角形单元,刚体位移,存在刚体位移,常量应变,三结点三角形单元为常应变(力)单元,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,位移模式验证,位移是否连续？,i,j

14、,m,p,i,j,m,p,i,j,线性,ui,uj,ui,uj,ui,uj,三结点三角形单元,相邻单元公共结点位移相同;,相邻单元公共边界位移相同;,单元内位移单值,满足位移连续性要求,6-3 单元的位移模式与解答的收敛性,结论,(2) 三结点三角形单元为常应变(力)单元.,(1) 三结点三角形单元位移模式满足要求;,6-4 单元的应变列阵与应力列阵,应变列阵,应变列阵, = B e,应变转换矩阵,B =(Bi , Bj , Bm),子矩阵,三结点三角形单元为常应变单元,6-4 单元的应变列阵与应力列阵,应力列阵, = Be, = D, = DBe, = Se,应力转换矩阵:,S = DB,S

15、 =(Si , Sj , Sm),应力列阵,平面应变问题,三结点三角形单元为常应力单元,6-4 单元的应变列阵与应力列阵,讨论,三结点三角形单元:,(1) 位移的误差是坐标x或 y尺寸的二阶小量;,(2) 应变和应力的误差是坐标x或 y尺寸的一阶小量;,要根据工程计算精度确定单元尺寸,(3) 应变和应力为常量;,(4) 整个弹性体内位移连续, 应变和应力不连续;,(5) 提高计算精度方法: 减小单元尺寸或采用高精度单元.,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,结点力列阵,劲度矩阵,位移结点力与结点位移的关系的矩阵, 也称刚度矩阵;,可通过虚功原理推导.,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,虚功原

16、理,外力虚功 = 虚变形能,结点力：,虚位移：,* = B(e)*,虚应变：,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,虚功原理,虚功方程：,* = B(e)*, = DBe,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,单元刚度矩阵,令,单元刚度矩阵,单元刚度矩阵表示单元各结点发生单位位移时, 引起的结点力;,单元刚度矩阵与单元的形状、方位和弹性常数有关, 与单元的位置无关.,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,单元刚度矩阵,三节点三角形单元:,B =(Bi , Bj , Bm),单元刚度矩阵为66对称矩阵,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,单元刚度矩阵,三节点三角形单元(等腰直角):,i、j、m 逆时针

17、排列;,j,m,i,i j为等腰直角三角形斜边.,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,单元刚度矩阵,三节点三角形单元(等腰直角):,单元应力转换矩阵,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,单元刚度矩阵,三节点三角形单元(等腰直角):,单元刚度矩阵,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,算例,三节点三角形单元(等腰直角):,j,m,i,ui,假设单元结点i上发生水平位移ui ,求单元结点力、应力?,单元结点力:,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,算例,三节点三角形单元(等腰直角):,假设单元结点i上发生水平位移ui ,求单元结点力、应力?,单元结点力:,F,j,m,i,ui,0,F, F,0, F

18、,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,算例,三节点三角形单元(等腰直角):,假设单元结点i上发生水平位移ui ,求单元结点力、应力?,单元应力:,j,m,i,ui, = Se,6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵,单元结点力物理意义,应力移置到结点,单元结点力就是单元边界上的应力向结点等效移置的结果.,6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,在FEM中, 必须将作用于单元中的外荷载向结点移置, 化为等效结点荷载;,这种移置必须按静力等效原则进行.,6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功相等.,静力等效,集中力：,单元结点荷载列阵：,各结点虚位移：,6

19、-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,静力等效,集中力位置虚位移：,虚功原理：,Ni, Nj, Nm为集中力位置的函数值,6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,静力等效,分布体力：,叠加集中力,集中力,6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,静力等效,重力：,1,1/3,1/3,1/3,6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,静力等效,分布面力：,i,j,m,叠加集中力,集中力,6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,静力等效,均布面力：,i,j,m,1,i,j,m,a/2,a/2,a,6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,静力等效,线性分布面力：,i,j,m,1,

20、i,j,m,a/3,a/6,a,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,1,2,3,4,5,6,i,i 结点平衡条件：,整体分析,环绕结点所有单元移置而来的结点荷载FLi要和结点力Fi平衡:,整体平衡方程：,i, j, m 单元内部结点编号; 1, 2, 3n 整体结点编号.,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,1,2,3,4,5,6,i,整体分析,整体平衡方程：,i, j, m 单元内部结点编号; 1, 2, 3n 整体结点编号.,整体结点位移列阵：,整体结点荷载列阵：,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,1,2,3,4,5,6,i,整体分析,整体平衡方程：,整体刚度矩阵：,Krs是

21、按整体结点编码、同下标rs的单元刚度矩阵叠加而得到.,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,1,2,4,整体分析,3,5,6,8,7,9,10,12,11,13,14,16,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,K66 = ?,1, 2, 316 整体结点编号 1, 2, 318 单元编号,i、j、m 局部结点编号, 逆时针排列; i j为直角三角形斜边.,2,3,4,7,8,9,6,6,6,6,6,6,i,j,m,i,j,m,i,j,m,i,j,m,i,j,m,i,j,m,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,1,2,4,整体分析

22、,3,5,6,8,7,9,10,12,11,13,14,16,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,K67 = ?,1, 2, 316 整体结点编号 1, 2, 318 单元编号,i、j、m 局部结点编号, 逆时针排列; i j为直角三角形斜边.,4,9,7,6,i,j,m,i,j,m,6,7,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,1,2,4,整体分析,3,5,6,8,7,9,10,12,11,13,14,16,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,K61 = ?,1, 2,

23、316 整体结点编号 1, 2, 318 单元编号,i、j、m 局部结点编号, 逆时针排列; i j为直角三角形斜边.,无,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,正方体角点受压,利用对称性进行单元离散,6 个结点 4个单元,单元内部结点编号,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,单元内部编号,单元编号和整体结点编号,局部编码与整体编码对应关系,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,子矩阵：,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,整体结点平衡方程：,6个结点, 每结点两个位移分量, 所以整体刚度矩阵为12 12,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,整体刚

24、度矩阵：,1,2,4,3,5,6,1,2,3,4,5,6,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,单元刚度矩阵：,令 = 0, t = 1,等腰直角三角形单元刚度矩阵相同.,如果i、j、m 局部结点编号, 逆时针排列; i j为直角三角形斜边:,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,整体刚度矩阵：,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,位移边界条件：,整体结点位移列阵：,未知量,整体刚度矩阵(简化)：,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,整体结点荷载列阵：,简化：,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,整体平衡方程：,位移解答：,6-7 结构的整体分析

25、结点平衡方程组,算例,应力转换矩阵：,I , II , IV 单元:,III 单元:,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,应力：,I 单元:,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,应力：,II 单元:,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,应力：,III 单元:,6-7 结构的整体分析 结点平衡方程组,算例,应力：,IV 单元:,求解步骤,(1)划分单元网格, 对单元和结点编号,1,2,4,3,5,6,8,7,9,10,12,11,13,14,16,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,6-8 解题的具体步骤

26、单元的划分,求解步骤,(2)选定直角坐标系, 按程序要求填写和输入有关信息,主要信息：,每个结点的坐标值;,每个单元的信息(单元内部结点的整体编码);,材料的弹性常数值;,荷载信息;,约束信息;,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,求解步骤,(3)使用计算机程序进行计算,程序流程：,读入信息,形成整体刚度矩阵K,形成整体结点荷载列阵FL,求解线性方程组,解得整体结点位移列阵,计算各单元应力分量,输出计算结果,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,求解步骤,(4)对计算结果进行整理分析,在有限元软件中, 以上各步骤全部可由计算机完成;,人工只需借助图形用户界面, 设定几何模型、边界条件、材料属性等

27、;,但要获得最佳的计算效果, 必须对某些步骤进行一定的人工干预.,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(1)单元的大小要根据精度的要求和计算机配置来确定,n个结点,n+1个结点,vs.,内存增加 :,计算量增加 :,8n + 4,8n2 +16n + 6,随结点数增加, 有限元计算消耗大幅攀升.,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(2)在结构不同部位,单元大小应当不同.,边界曲折的部位, 单元必须小一些; 边界平直的部位, 单元可以大一些.,保证离散后结构与原结构形状相似,vs.,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分

28、注意点,(2)在结构不同部位,单元大小应当不同.,应力和位移需要详细了解的关键部位.,以及应力和位移变化剧烈的部位, 单元必须小; 次要部位, 以及应力的位移变化平缓的部位, 单元可以大一些.,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(2)在结构不同部位,单元大小应当不同.,应力和位移的变化缓急可由弹性力学知识预估;,不能预估时, 可先用均匀的单元试算, 根据试算结果再重新划分单元及计算.,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(3)三角形三个内角应相近,应力和位移的误差都和单元的最小内角的正弦成反比,(4)利用对称性或反对称性降低计算量,6-8 解题的具体步骤 单元

29、的划分,单元划分注意点,(4)利用对称性或反对称性降低计算量,荷载不对称,也不反对称：,可将荷载分解为对称和反对称两组, 分别计算, 然后叠加. (只适用于线弹性范围),F1,F2,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(5)厚度有突变、弹性有突变, 单元不仅要小, 且以突变线作为单元的边界线,t1,t2,推导单元刚度矩阵单元厚度、弹性常数均为常量;,单元内部插值函数是连续函数, 不能反映应力的突变,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(6)集度突变的分布荷载或集中力,单元不仅要小, 且要在荷载突变或集中之处布置结点,能反映应力的突变,6-8 解题的具体步骤 单元

30、的划分,单元划分注意点,(7)计算结构与地基共同作用时, 地基选取范围应与实际影响范围有关, 取地基形状为矩形更易建模, 边界约束可为连杆支座.,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(7)计算结构与地基共同作用时, 地基选取范围应与实际影响范围有关, 取地基形状为矩形更易建模, 边界约束可为连杆支座.,现今计算机性能已大幅提升, 不再采用.,二次计算：,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(8)结构具有凹槽或孔洞等应力集中处, 附近网格要加密,6-8 解题的具体步骤 单元的划分,单元划分注意点,(8)结构具有凹槽或孔洞等应力集中处, 附近网格要加密,二次计算：,

31、现今计算机性能已大幅提升, 不再采用.,6-9 计算成果的整理,位移,位移无需整理, 对结点位移进行插值计算, 便可求得任意点位移, 然后画出位移的云图或等值线图.,云图,等值线图,6-9 计算成果的整理,应力,三角形三结点单元为常应力单元, 应力云图呈跳跃分布, 与连续性不符, 应做平均化处理.,三角形三节点单元应力云图,6-9 计算成果的整理,应力,绕结点平均法：,把环绕某一结点的各单元中的常量应力加以平均, 用来表征该结点处的应力. 单元面积不能相差太大.,边界结点处的应力应用插值公式向外推算出来.,6-9 计算成果的整理,应力,二单元平均法：,把两个相邻单元中的常量应力加以平均,用来表

32、征公共边中点处的应力.单元面积不能相差太大.,边界结点处的应力应用插值公式向外推算出来.,6-9 计算成果的整理,应力,应力变化不剧烈部位, 两种平均方法都可使用;,几点注意：,应力变化剧烈部位, 特别是应力集中处, 绕结点平均法较差;,主应力及应力主向, 可以由平均后的应力分量算得, 也可以直接对主应力或应力主向加以平均. 只要各单元应力主向比较接近, 两种平均的结果相差不大.,6-9 计算成果的整理,应力,几点注意：,在推算边界点或边界结点处的应力时, 可以先推算应力分量再求主应力, 也可对主应力直接进行推算;,如果相邻单元具有不同的厚度或不同的弹性常数, 则在理论上应力应当有突变; 因此

33、, 只容许对厚度及弹性常数都相同的单元进行平均计算, 以免完全失去这种应有的突变.,6-9 计算成果的整理,应力,几点注意：,凹槽边界应力变化剧烈, 边界最大的主应力需要根据结点主应力画图或插值求的.,6-9 计算成果的整理,应力,几点注意：,弹性分析时, 尖角应力大到惊人, 可将围绕尖角附近单元设置为充分小, 对这些单元的大应力不予理会.,以上经验, 可在实际计算中参考,6-10 计算实例,楔形体受自重及齐顶水压,有限长,计算参数：,楔形体弹性模量E = 21010Pa, 泊松比 = 0.167, 厚度t = 1m, 自重p = 2.4104N/m3; 水的密度 = 103Kg/m3.,6-

34、10 计算实例,楔形体受自重及齐顶水压,二单元平均法：,y (单位: 104Pa),6-10 计算实例,楔形体受自重及齐顶水压,绕点平均法：,y (单位: 104Pa),6-10 计算实例,简支梁受均布荷载,对称性,计算参数：,弹性模量E = 101010Pa, 泊松比 = 0.167, 厚度t = 1m.,6-10 计算实例,简支梁受均布荷载,x (单位: Pa),6-10 计算实例,圆孔的应力集中,6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程,利用虚功原理可建立有限元基本方程;,利用变分原理也可建立有限元基本方程, 弹性体平衡问题所对应的变分原理是最小势能原理.,总势能,形变势能：,外力势

35、能：,总势能：,6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程,最小势能原理,一个体系在势能最小时, 系统方能处在稳定平衡状态.,不平衡,平衡,6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程,最小势能原理,一个体系在势能最小时, 系统方能处在稳定平衡状态.,最小势能原理：,总势能：,EP是以位移函数d为自变量的函数, 故称为泛函(函数的函数);,一个泛函的最小值所对应的自变量函数, 就是泛函偏导数(变分)为0时, 所对应的自变量函数.,6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程,最小势能原理,根据最小势能原理:,可推导出和虚功原理相同的有限元基本方程.,例 题,深梁在跨中受集中力F的作用, 若取 = 0、t = 1试用有限单元法求解跨中的位移。,1m,1m,例 题,深梁在跨中受集中力F的作用, 若取 =