有关复合函数单调性的定义和解题方法

1、有关复合函数单调性的定义和解题方法 高一数学组一、 复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、 函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k0). 当k0时，(，+)是这个函数的单调增区间；当k0时，(，+)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=(k0).当k0时，(，0)和(0，+)都是这个函数的单调减区间，当k0时，(，0)和(0，+)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a0).当a0时(，)是函数的单调减区间，(，+)是单调增区间；当a0时(，)是函数的单调增

2、区间，(，+)是单调减区间；4.指数函数y=ax(a0，a1). 当a1时，(，+)是这个函数的单调增区间，当0a1时，(，+)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=logax(a0，a1). 当a1时，(0，+)是这个函数的单调增区间，当0a1时，(0，+)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又

3、函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。例1 求函数y=log4(x24x+3)的单调区间： 解法一：设 y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为x1或x3.当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，)时，u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间

4、.解法二：u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(复合函数定义域)x2 (u减)解得x1.所以x(，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x2)21的单调性与复合函数的单调性一致，所以(，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(复合函数定义域)x2 (u增)解得x3.所以(3，+)是复合函数的单调增区间.例2 求函数y=log (2xx2)的单调区间： 解：设 y=logu,u=2xx2.由 u0 u=2xx2解得原复合函数的定义域为0x2.由于y=logu在定义域(0，+)

5、内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2xx2的单调性正好相反.易知u=2xx2=(x1)2+1在x1时单调增.由 0x2 （复合函数定义域） x1，(u增)解得0x1,所以(0，1是原复合函数的单调减区间.又u=(x1)2+1在x1时单调减，由 x2， (复合函数定义域) x1， (u减)解得1x2,所以1，2)是原复合函数的单调增区间.例3 求y=的单调区间.解： 设y=,u=76xx2,由 u0, u=76xx2解得原复合函数的定义域为7x1.因为y=在定义域0+内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=x26x+7的单调性相同.易知u=-x2-6x+7=-(

6、x+3)2+16在x-3时单调增加。由 -7x1,（复合函数定义域） x-3,（u增）解得-7x-3.所以-7，3是复合函数的单调增区间.易知u=x26x+7=(x+3)2+16在x3时单调减，由 7x1 (复合函数定义域) x3， (u减)解得3x1，所以3，1是复合函数的单调减区间.例4 求y=的单调区间.解 ： 设y=.由 uR, u=x22x1,解得原复合函数的定义域为xR.因为y=在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x22x1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x22x1=(x1)22在x1时单调减，由 xR, (复合函数定义域) x1， (u减)解得x1.所以(，

7、1是复合函数的单调增区间.同理1，+)是复合函数的单调减区间.注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复 合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.练习求下列复合函数的单调区间.1.y=log3(x22x);(答：(，0)是单调减区间，(2，+)是单调增区间.)2.y=log(x23x+2)；(答：(，1)是单调增区间，(2，+)是单调减区间.)3.y=,(答：2，是单调增区间，3是单调减区间.)4.y=;(答：(，0)，(0，+)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)5.y=;(答(，0)为单调增区间，(0，+)为单调减区间)6.y=,(答(，+)为单调减区间.)7.y=；(答