1.3.1二项式定理.ppt

1、1.3 二 项 式 定 理,广州市南沙麒麟中学 黎志荣,高中数学选修2-3 第一章,一、自主学习,1、自主探究: 利用我们所学过的知识得到（a+b）2,(a+b)3,(a+b)4的展开式，猜想一下 的展开式（a+b）n的展开式。,（1） （a+b）2= （2） （a+b）3= （3） （a+b）4= （4） （a+b）n=,a2+2ab+b2,(a+b)(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)2(a+b)2=,这样方法效率不高，遇到如求（a+b）8这样高次的展开式，这种方法显得繁琐，有没有更好的方法？,我们不妨以（a+b）3为例来分析， ,我们

2、可以将（a+b）3看成3个（a+b）相乘，每一个小括号只能提供一个字母，要么选a ,要么选b。然后从左到右边相乘，合并同类项得出结果.,（a+b）3= （a+b）（a+b）（a+b）,（选a或b） （选a或b）（选a或b）,四类情况:(1) “3个a，0个b相乘”； (2)“2个a，1个b相乘”； (3)“1个a，2个b相乘”； (4)“0个a，4个b相乘” 。 其实，只要选定b的个数，那么其余的（a+b）提供a，下面我们就从确定b的个数入手。,(1) “3个a，0个b相乘”；,（a+b）3= （a+b） （a+b）（a+b）,a a a,可见，只有1条运算的路径，故该项为C30b.a.a.a

3、,即是a3,(2) “2个a，1个b相乘”；,（a+b）3= （a+b）（a+b）（a+b）,b a a,a a b,a b a,类似于3个位置 选1个位置给b， 故该项为C31b.a.a 即是3a2b,(4) “0个a，3个b相乘”；,（a+b）3= （a+b） （a+b）（a+b）,a a a,(3) “1个a，2个b相乘”；,（a+b）3= （a+b）（a+b）（a+b）,b b a,b a b,a b b,类似于3个位置 选2个位置给b， 故该项为C32b.b.a 即是3a2b,（a+b）3= （a+b）（a+b）（a+b）,b b b,可见，只有1条运算的路径，故该项为C33b.b.

4、b,即是b3,（a+b）3= C30a3b0+ C31a2b1 + C32ab2 + C33a0b3,如此类推： （a+b）4=（ ） a4b0+ （ ）a3b1 + （ ）a2b2 + （ ） a1b3+ （ ） a0b4,（a+b）n=（ ） anb0+ （ ）an-1b1 + （ ）an-kbk + +（ ） a0bn,C40,C41,C42,C43,C44,Cn0,Cn1,Cnk,Cnn,2、二项式定理归纳： 二项式定理： （a+b）n = 叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的展开式 ，它一共有 项，其中Cnkan-kbk 叫做二项展开式的第k+1项，也称为通项，用 Tk+

5、1表示，即Tk+1 。其中Cnk称为“二项式系数”，而系数是指X前面的系数，比如展开式中的一个项“2C52 x2”的二项式系数是指 ， 2C52 x2的系数是指 【热身练习】：求 展开式。,n+1,Cnkan-kbk,C52,2C52,再如：某个展开式一个项是“3C41 x2”的二项式系数和 系数分别是什么？,Cn0anb0+ Cn1an-1b1 + Cnkan-kbk + +Cnna0bn,解：,二、例题精讲,例1求 展开式.,求,测试题目：求 的展开式.,二、例题精讲,例1求 展开式.,求,测试题目：求 的展开式.,解：,解：,二、例题精讲,例2 （1）求(1+3x)7的展开式的第4项的系

6、数； （2）求 的展开式中x3的系数以及x3 的二项式系数； （3）求 的展开式中的常数项.,求,二、例题精讲,例2 （1）求(1+3x)7的展开式的第4项的系数；,求,解：,所以展开式的第4项系数是945,二、例题精讲,例2（2）求 的展开式中x3的系数以及x3 的二项式系数；,求,9-2k=3,k=3,二、例题精讲,例2 （1）求(1+3x)7的展开式的第4项的系数； （2）求 的展开式中x3的系数以及x3 的二项式系数； （3）求 的展开式中的常数项.,求,三、同步练习,1、 （1+10 x）15展开式中一共有 项 2、写出(p+q)5展开式. 3、求出（x-1）10展开式中第6项的二项式系数以及系数。 4、求出 的展开式中常数项。 5、若 展开式中含有 的系数为-84，求a,16,三、同步练习,2、写出(p+q)5展开式.,解：(p+q)5= p5 +5p4q+10p3q2+10p2q3+5pq4+q5,三、同步练习,3、求出（x-1）10展开式中第6项的二项式系数以及系数。,解：,所以展开式的第6项二项式系数是252，,第6项系数是-252。,三、同步练习,4、求出 的展开式中常数项。,6-2k=0,k=3,常数项为：,三、同步练习,5、若 展开式中含有