线性代数课件-4.1向量空间.ppt

1、第四章,向量空间、矩阵的特征值与特征向量,所有分量为实数的n维向量构成的集合,称为一个n维向量空间,41 向量空间,n维向量组,线性无关，,且任意n+1个n维向量线性相关,n,定义4.3 在Rn中，n个线性无关的向量 1， 2， n称为Rn的一组基。,例如：n维单位向量组1， 2， n是Rn的 一组基。,该基称为Rn自然基或标准基。,也是Rn的一组基。,再如：,因为,即 线性无关,所以 也是Rn的一组基。,二、基与坐标,Rn的一个极大无关组,补充：1， 2， m是Rn的一组基,1、 i Rn,2、m=n,3、 1， 2， m线性无关,例如：,对n维向量空间,若1， 2， n是Rn的一组基，,则

2、1， 2， n线性无关，,且Rn中任意n+1个向量线性相关,有，1，2，n线性相关,由P107定理33，,即对任意 Rn,，存在唯一一组x1,x2, ,xn,使 =x11+x22+xnn,即对任意 Rn,可由1， 2， n线性表示，,且表法唯一。,解：因为,所以 在基 下的坐标为,行向量,定义4.4 设1 ， 2， n是Rn的一组基，则R中的任一向量 都可唯一表示为 =x1 1 + x2 2 + xn n 称系数x1, x2, , xn为向量在基1 ， 2， n 下的坐标，记作（ x1, x2, , xn ）,设在基 下的坐标为（ x1, x2, , xn ）,由此得线性方程组:,所以 在基

3、下的坐 标为：,即有,【例（补）】已知R3的一组基,求向量 在基 下的坐标,解：,设在基 下的坐标为（ x1, x2, x3 ）,即有,做矩阵,所以在基 下的坐标为（ 2，3，-1）,求向量在基 下的坐标：,设在基 下的坐标为（ x1, x2, , xn ）,即有,做矩阵,则向量在基 下的坐标：,三、过度矩阵,设向量组 与 为Rn的两组基， 则向量 可由 线性表示,B=AQ,（*）,（*）,旧基,新基,旧基到新基的过度矩阵,=Q,Q=,取矩阵,称矩阵Q为旧基 到新基 的过度矩阵,定义45 设向量组 与 为Rn的 两组基，向量 可由 线性表示,对基 和,及关系式,取,或 B=AQ,（*）的矩阵形

4、式：,即,P159,证明：,取,则有 B=AQ,由于 线性无关，,A可逆,B可逆,线性无关，,所以Q=A-1B可逆,P159,定理4.1 由旧基 到新基 的过度矩阵Q可逆。,求旧基 到新基 的过度矩阵的方法(P160) :,取,则过度矩阵Q=A-1B,由,例2 已知R3的一组基,求自然基 到 的过度矩阵Q。,解 令,则所求的过渡矩阵,例3 已知R4的两组基为： 求基 到 的过度矩阵Q。,解 令,则所求过度矩阵为 Q=A-1B,故,P161,定理42 设 与 为Rn的两 组基，由 到 的 过度矩阵为Q，对于向量 ， 在基 和基 下的坐 标分别为 和,由基坐标的唯一性，得,证明：,且由过度矩阵是可

5、逆的，得,【例4】设R3的两组基为：,和,（1）求 到 的过度矩阵Q,（2）若 在基 下的坐标为 求 在基 下的坐标。,解：,（1）取矩阵,P163,得,故 在 下的坐标为,则所求过度矩阵为,设 在新基 下的坐标为,P163,【例4】设R3的两组基为：,和,（1）求 到 的过度矩阵Q,（2）若 在基 下的坐标为 求 在基 下的坐标。,由,得,所以 在基 下的坐标为（-5，-7，4）,所以有,三、子空间及维数,不要,小结,一、概念,1、基：Rn中n个线性无关的向量 1， 2， n 称为Rn的一组基,2、坐标：设1 ， 2， n是Rn的一组基，则Rn 中的任一向量 都可唯一表示为 =x1 1 + x2 2 + xn n 。 则称系数x1, x2, , xn为向量在基1 ， 2， n 下的坐标，记作（ x1, x2, , xn ）,二、主要结论,1、,2、 旧基 到新基 的过度矩 阵Q可逆。,定理42 设 与 为Rn的两 组基，由 到 的 过度矩阵为Q，对于向量 ， 在基 和基 下的坐 标分别为 和,三、计算题型：,1、判断1， 2， m是否为Rn的一组基,步骤： （1） i Rn,，（2）m=n,（3） 1， 2， m线性无关,2、求向量在基 下的坐标：,设在基 下的坐标为（ x1, x2, , xn ）,即有,则向量在基 下的坐标：,3、求旧基 到新基 的过度矩阵,取,