第十三章平面弯曲杆件的变形与刚度计算.ppt

1、梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线（ x ）在梁弯曲后变成一连续光滑平面曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），或挠曲线。,1.基本概念,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,挠曲线方程：,（x）,第13章 平面弯曲杆件的变形与刚度计算,横截面形心处沿w方向的铅垂位移，称为挠度，用w表示；向下为正;,2. 变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角用表示；,顺时针为正(沿x轴正向)。或者可以表达为该处挠曲线的斜率。,挠曲线性质：,（2）挠曲轴上任一点的切线斜率等于梁上该截面的转角值。,（1）挠曲轴上任一点的纵坐标等于梁上该截面

2、的挠度值；,(3)挠度和转角之间的关系,1.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,13-2 挠曲线的近似微分方程,目录,本书中采用w向下，x向右的坐标系,由数学知识可知：,挠曲线的近似微分方程为：,7-3,目录,2.积分法求梁的变形,转角,挠度,在固定铰支座和活动铰支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;,连续条件是指梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1= w2，12等等。,在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，0。,约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：,约束条

3、件与连续条件,在弯曲变形的对称点，转角等于零。,w1 = w2，1=2,约束条件与连续条件,w= 0，= 0,w = 0,i）固定端：,ii）简支端：,iii）铰链连接：,iv）连续性条件：,w1 = w2 1 2,例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,A,B,F,目录,EIwEIlx-Fx2/2+C1,EIwlx2/2-Fx3/6+C1x+D1,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,C1

4、=0,D1=0,求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。,已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。,解：1确定梁约束力,因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。,首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。,2分段建立梁的弯矩方程,AB段,BC段,解： 3将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,BC段,AB段,积分后，得,其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。,一次积分,二次积分,AB段,BC段,BC段,AB段,解： 4利用约束条件和连续条件确定积分常数,在支座A、C两处挠

5、度应为零，即,x0， w10; xl， w20,因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处B的挠度和转角必须分别相等:,xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2,D1D2 =0,解： 5确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角,将所得的积分常数代入,得到梁的转角和挠度方程为：,AB段,BC段,据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为, 确定约束力,判断是否需要分段以及分几段, 分段建立挠度微分方程, 微分方程的积分, 利用约束条件和连续条件确定积分常数, 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角,积分法小结, 分段写出弯矩方程,梁在若干个载荷共

6、同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,7-4 用叠加法求梁的变形,目录,已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。,求：C截面的挠度wC ；B截面的转角B,解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。,+,+,解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。,+,+,特别关注正负号,解：3. 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加,将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:,已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC 和C,解：1. 首先，将梁上的载荷变成有表可查的情

7、形,为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。于是，由挠度表中可以查关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果.,解：2再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。,两种情形下自由端的挠度和转角分别为,解：2再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角。,解：3将简单载荷作用的结果叠加,12-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根

8、据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则：,上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：,解,12-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa

9、。轴承B处的许可转角 =0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,B,2）由刚度条件确定轴的直径：,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,2.提高梁刚度的措施,1）选择合理的截面形状,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,目录,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,3）梁跨度的选取,7-5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,尽量减小梁的跨度；,4）合理选择材料,尽量选择弹性模量E较高的材料；,作业：,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,1.基本概念：,超静定

10、梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统,7-6,目录,解,例6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,目录,3）进行变形比较，列出变形协调条件,4）由物理关系，列出补充方程,所以,4）由整体平衡条件求其他约束反力,7-6 用变形比较法解简单超静定梁,目录,例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从