数学问题杂谈 (42).ppt

1、数学学习与解决问题,主讲：汪纯中,一.解决问题概述 二.解决问题的基本过程 三.课改为解决问题搭建平台,一.解决问题概述,1.备受关注的解决问题,“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题”,具体要求包括: 逐步学会从数学的角度提出问题,理解问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题; 形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神; 学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果,逐步形成评价与反思的意识.,“高中数学课程应提供基本内容的实际背景,反映数学的应用价值,开展数学建模的学习活动,设立体现数学某些重要应用的专题课程

2、。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力”,“根据以学生发展为本的观念,新的课程体系必须正确处理教材、教师、学生三者关系,要坚持加强基础,要特别重视发挥学生主体在认识活动中的主动和能动作用,重视由此导致的从问题出发、设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程。”,一.解决问题概述,1.备受关注的解决问题 2.问题的含义,问题是一种状态,这种状态要求人们去完成一个任务,而对于这个任务,由他们的经验,没有一个现成的可供使用的完成任务的策略。因此,解决问题中的问题,主要指非常规问题。,练习与解决问题的特征

3、比较,一.解决问题概述,1.备受关注的解决问题 2.问题的含义 3.问题应具备的基本条件 接受性,障碍性,探究性,接受性： 学生愿意接受这个问题，并且具备了解决这个问题所必须具备的知识、技能与能力。 障碍性： 学生对解答问题的最初尝试往往以失败而告终。 探索性： 学生需要对失败的尝试进行反思，重新进行探索，并排除思维定势，寻找新的解决问题的方案。,二.解决问题的基本过程,1.几种模式,奥苏贝尔四阶段模式,第一阶段：呈现问题情景命题 第二阶段：明确问题最终目标与已知条件 第三阶段：填补空隙过程 第四阶段：解答之后的检验,杜威五步模式,第一步：产生困惑 第二步：尝试从情景中识别出问题 第三步：将问

4、题情景中命题与已有的认知结构联系起来 第四步：对假设作检验 第五步：将成功的答案组合到认知结构中,波利亚“怎样解决问题”表,二.解决问题的基本过程,1.几种模式 2.解决问题与数学思考 （1）特殊化与一般化 特殊化 考虑特殊情况，取特殊值，简化问题，作图作表格等,例1. 证明:长为4 的闭曲线L,一定可以用一个半径为 的圆把它覆盖住,并且该圆是所有能覆盖曲线L的圆中的最小一个圆.,例2. 函数 定义在整数集上,且满足 求,例3. 设a、b、c、d是四个正实数，且其中有两个小于1. 求证：(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)1-a-b-c-d,例4. 任意一圆和 的图象相交的交点 (A)至多

5、2点 (B)至多4点 (C)至多6点 (D)可以多于6点,二.解决问题的基本过程,1.几种模式 2.解决问题与数学思考 （1）特殊化与一般化 特殊化 考虑特殊情况，取特殊值，简化问题，作图作表格等 一般化 建立模型，符号化，逆推，反证，推广等,二.解决问题的基本过程,1.几种模式 2.解决问题与数学思考 （1）特殊化与一般化 （2）猜测与验证,二.解决问题的基本过程,1.几种模式 2.解决问题与数学思考 （1）特殊化与一般化 （2）猜测与验证 3.解决问题的教学模式对数学课堂 教学改革的启示,例5. 若对非零常数 ,函数 满足 求证： 是周期函数,证明:,问题: 1.设 是如何想到的? 2.为

6、什么由 出发 进行式的变形?,例6. 已知 是定义在正整数集上,又在正整数集上取值的函数,并且 1. 2.对任何正整数 ,有 3.当 时, 求证： 对一切正整数 成立.,三.课改为解决问题搭建平台,案 例 1,“上网方式与费用研究” 教 学 设 计,研究过程： 第一阶段：收集有关资料 丰富研究背景 第二阶段：研究讨论 解决问题 1.创设情景,提出课题 2.探索研究,解决问题 3.总结反思,举一反三 第三阶段：任务后延 自主研究,案 例 2,“用桶分水问题研究”,问题： 一只大桶装了10斤水，另有两只桶，一只恰好能装3斤水，一只恰好能装7斤水。现在要把这10斤水平分为5斤的两分，问如何倒法？,研

7、究过程： 1.学生自主操作，也可小组讨论,倒水方案一：,倒水方案二：,研究过程： 1.学生自主操作，也可小组讨论 2.提出问题,问题1：上述两个倒水方案，哪个更优？ 问题2：是否还有更优的倒水方案？,研究过程： 1.学生自主操作，也可小组讨论 2.提出问题 3.探索解决问题2的策略,用方程思想解决这一问题：,设倒满7斤桶 次，倒满3斤桶 次（若 或 取负值，则表示倒出）。这样，找倒水方案就转化为求不定方程 （1） 的整数解。 方程（1）的通解为 （t是整数）（2） 在（2）中令 .得解： ，代入（1）可得 改写上式为： 由此式可得倒水方案一. 在（2）中令 .得解： ，代入（1）可得 改写上式

8、为： 由此式可得倒水方案二. 利用（2），可以证明方案一是最优方案。,研究过程： 1.学生自主操作，也可小组讨论 2.提出问题 3.探索解决问题2的策略 4.问题的引申,案 例 3,“一个数学命题推广的研究”,命题：正三角形内任意一点到其三边的距离之和为一定值。 推广一：(取消边数的限制) 正n边形内任意一点到其各边的距离之和为一定值. 推广二：(取消平面图形的限制) 正多面体内任意一点到其各面的距离之和为一定值.,有向距离定义： 设 为 所在平面上的一个点， 在 上的射影为点 ，定义 到 的有向距离 为： 若点 与点 位于 同侧，则 ；若点 与点 位于 两侧，则 ；若点 在直线 上，则 。 点 到 ，点 到 的有向距离同上定义。,命题：正三角形内任意一点到其三边的距离之和为一定值。 推广