污染气象学课件：2_2 湍流扩散的统计理论

1、1,2.1 梯度输送理论K理论 2.2 湍流扩散的统计理论 (重点泰勒公式的导出,扩散参数和扩散时间关系) 2.3 湍流扩散相似理论 2.4各种扩散理论的比较 第二章小结 练习作业一,第二章 湍流扩散基本理论,2,2.1 梯度输送理论K理论 由湍流引起的动量通量与局地风速梯度成正比，如 比例系数K即湍流交换系数,亦称湍流扩散系数。 导出公式：,（2.2）,（2.1）,3,2.2 湍流扩散的统计理论,基本观点： 近地层大气总是处于湍流运动状态。 单个微团（粒子）的运动极不规则，但对大量的微团的运动却具有一定的统计规律。 湍流统计理论就是从研究湍流脉动场的统计性质出发，如相关、湍强、湍谱等，描述流

2、场中扩散物质的散布规律。 属于拉格朗日途径的处理方法。,4,研究湍流一般要用统计平均概念。 统计的结果是湍流细微结构的平均，描述流体运动的某些概貌，而这些概貌对实际湍流细节应该是适当敏感的。 泰勒在20年代初研究湍流扩散时，引进了流场同一点在不同时刻的脉动速度的相关，从而开创了湍流统计理论的研究。这一相关称拉格朗日相关，可描述流动的扩散能力。 1935年泰勒又引进同一时刻不同点上速度分量的相关，用以描述湍流脉动场,此即所谓欧拉相关。 泰勒利用这一类相关研究了一种理想湍流均匀各向同性湍流。这种量简单的理想化湍流的定义是：平均速度和所有平均量都对空间坐标的平移保持不变，而且各相关函数沿任何方向都是

3、相同的。-冰冻湍流 统计理论引进多点相关的统计。,5,一、泰勒公式 泰勒（Taylor，1921）用拉格朗日的方法首先把扩散参数和湍流脉动场的统计特征量联系起来，导出了适用于连续运动扩散过程的泰勒公式。,6,现研究：如图从源放出的微粒的扩散情况 假定：湍流场均匀定常,7,跟踪一个从源放出的粒子的运动， 跟踪很多同时从源放出粒子的运动, 浓度分布一般为正态分布。 浓度正态分布的假设，仅是同实况比较接近的一种假设。,8,y方向浓度分布的标准差等于横向粒子位移y的均方差， 即：,9,将上式对时间t求导，得： 其中 是微粒y方向位移的时间变化率， 即横向脉动速度 横向位移y等于横向脉动速度对时间的积分

4、，即：,10,11,这就是著名的泰勒公式。 是湍流扩散统计理论的基本公式之一。 公式表明，在定常均匀湍流场中， 粒子的湍流扩散范围取决于 湍流强度 脉动速度的拉氏相关性（RL（）。,（2.3）,12,泰勒公式的另一种形式： 运用分部积分法则 并且令,13,可将（2.3）式的二重积分简化为一重积分，即 变为： 此式即为泰勒公式的另一种形式。,（2.4),14,二、扩散参数和扩散时间的关系,由泰勒公式和 的性质， 可得出扩散参数和扩散时间的关系： 1）当扩散时间足够短时，即T 0，可认为 0，则RL（） 1 将RL（）值代入（2.4）式有 意即 或,（2.5),15,2）当扩散时间足够长时， 这里

5、 即拉氏相关时间尺度或湍涡积分时间尺度。 于是 或,（2.6),16,即： 在源点附近，扩散开始时，扩散参数随扩散时间线性增加； 当扩散时间足够长时，扩散参数与扩散时间的平方根成正比。,中间？过渡,17,三、泰勒公式的谱函数形式 1、用拉氏谱函数表示的泰勒公式 拉格朗日谱由下式表达 即相关系数与谱函数互为富里叶变换关系。 式中FL（n）为拉格朗日的谱函数。 代入泰勒公式（2. 3）式则,18,19,此式即横向扩散与拉氏湍谱之间的关系。 公式表明，经过时间T，在x轴向距离为x= u T 位置上，y向扩散散布与横向湍强有关，亦与拉氏湍谱有关。 显然，当T足够小时，,即,（2.7),20,2、用欧拉

6、谱表示的泰勒公式 研究表明： 拉氏相关RL和欧氏相关RE随时间变化都符合指数关系，但一般RL比RE下降的慢，即RL比RE要大。 两者在时间尺度上相差倍。,21,如图所示，一个半径为R并具有切向速度w的圆形湍涡处于平均风速的气流之中。 粒子绕湍涡一周的运行时间为 ， 而固定的风速表则在 时间内观测到湍涡通过。 于是， 拉格朗日和欧拉时间 尺度之比由下式表示：,22,所以，欧氏谱与拉氏谱之间的关系为： 欧拉谱与拉氏谱 形式相同，相差 倍。,即,23,把 代入 得： 当T足够短时， 仍有：,24,统计理论优缺点： 优：把湍流与扩散直接联系起来， 物理概念清楚。 缺：局限于均匀、定常条件。 实际应用只

7、利用其物理概念。,1941年,柯.莫戈罗夫提出局部各向同性概念。他认为实际流动总有边界的影响，因此受边界影响较大的大尺度涡旋的运动不可能是各向同性的，而受边界影响较少的小尺度涡旋则可能是各向同性的。,25,相似理论是在量纲分析的基础上发展起来的。 是研究近地层大气湍流一种有效的理论方法。 最早把相似理论应用于粒子扩散问题的是 Monin(1959)。 此后，Batchelor(1959, 1964) ，Gifford(1962)进一步发展此理论 相似理论的基本工具是量纲分析与定理。,2.3 湍流扩散的相似理论,Monin-Obukhov similarity theory,26,一、量纲分析与

8、定理,27,28,29,二、拉格朗日相似性假设与扩散的基本数学处理 拉格朗日相似方法的基本假设是：在近地面层，流体质点的统计特性完全可以用确定欧拉特性的参数来确定。,在近地面层，在中性大气中，u*， 在非中性层结时除u*外还有热通量HT。 可用莫宁-奥布霍夫长度L来表示。,30,对于从位于z=0处的点源释放的质点，用量纲分析方法，可以得到释放质点中每个质点都移动了t时间之后，移动质点的平均垂直位移 的增长率必然具有以下形式：,31,进一步假定：相应的平均水平位移 的增长率等于在与 有关的高度上的平均风速，表示为,式中c是另一常数。 以上两式是数学处理的基础。,32,三、中性层结条件下的平均位移

9、 在中性层结条件下，风廓线为 代入积分得： 上式中只要给定常数b和c，就可以求出每个距离上扩散质点的平均垂直位移。,实验结果，参数b=0.4 ,c=0.56 。,33,四、非中性层结条件下的平均位移 非中性层结条件下风速廓线为 代入积分得： 同样给定常数b和c，就可以求出每个距离上扩散质点的平均垂直位移。,给定常数b、c以及函数f和，从原则上，地面源的垂直扩散是可以预报的。,34,相似理论的基本原理是关于拉格朗日相似性假设。 受很大限制 无助于实际应用。,35,第二章小结（ 各种扩散理论的比较）,1、湍流扩散有三大基本理论： 梯度输送理论(K理论)、统计理论和相似理论。 实际应用最广的为梯度输

10、送理论（K理论）。 、梯度输送理论类比分子扩散，假定湍流引起的动量输送正比于风速梯度。 根据质量守恒定律，利用K理论关系式，可导出湍流扩散方程。经简化(坐标系、均匀流场)可导出瞬时源、连续源的正态解（高斯模式）。,36,各种理论的比较,湍流半经验理论,37,38,现代新的扩散模拟方法原理与发展,1、随机游动扩散模型 2、高阶矩湍流闭合模拟,并非新的理论体系！,39,随机游动扩散模拟: 对随机的大气扩散行为,用大量粒子的随机游动方式来模拟,即用大量标记粒子的施放来表征污染物的连续排放,让它们在流场中按平均风输送,同时又用一系列随机位移来模拟大气扩散,这样就表达了平流输送和湍流扩散两种作用. 这些

11、质点在空间和时间上的总体分布,构成空气污染物的散布图.,1、随机游动扩散模型,40,标记粒子的输送速度是由平均速度和湍流速度组成,i方向总的粒子速度为,不论扩散速率如何,凡时间尺度大于平均风场,平均时间的扩散过程,均随平均风的时间和空间变化而变化.对时间尺度小于平均风场,平均时间的扩散过程,则按两部分湍流脉动计算,即相关分量和随机分量,41,且,自相关系数取指数形式,即有,可见,实施随机游动扩散模拟的关键在于,确定边界层湍流的一些特征量,如湍能廓线和时间尺度等参量,这些应由近年来的大气边界层观测和理论成果获得.而且,对不同的大气稳定度和边界层状况应有不同的结果和相应的表达式.,42,通过不同层

12、结条件下的湍能和拉格朗日时间尺度,便可完全确定马尔可夫扩散方程,然后,可计算施放粒子的轨迹. 根据上述原理可建立随机游动扩散模式,适用于非均匀,非平稳湍流扩散问题的处理. 近年来,随机游动扩散模拟模式的建立和应用研究相当活跃,并取得令人鼓舞的进展,表明它是一种模拟湍流扩散的有效手段. 模拟概念清晰简明,扩散计算直接与基本湍流性质相联系,完全摆脱了K模式的框架和泰勒公式的均匀,平稳的假定,运算省时,不出现人为耗散和负值浓度等问题,尤其适用于复杂地形条件和非中性,如对流边界层条件下的扩散处理.它还可考虑干湿沉积,自然衰减并实施多源应用.,43,2、高阶矩湍流闭合模拟,梯度输送理论中湍流扩散方程的求

13、解方法称作一阶闭合或k闭合.这种闭合假设常常是不正确的,而且k的变化很大,确认它较为复杂,导致k模式的种种问题. 高阶矩湍流闭合模拟舍弃上述处理方法,直接求助于高阶矩湍流量,并采用数值解方法直接求解,这就是新发展的高阶矩湍流闭合模拟.,44,目前,二阶矩湍流闭合模拟在预报大气边界层风和湍流方面取得相当大的进展,一些研究表明,预报结果与观测结果颇为一致, 但是,对应扩散模拟的应用还很不成熟,有待进一步发展. 另外,对实用而言,它虽然具有舍弃k闭合的局限性以及直接得湍流量模拟等重要优点,但计算量很大.目前,仍处研究扩散模拟阶段.,45,？ 问题与讨论,46,边界层理论100 年,莫宁奥布霍夫相似理

14、论 50 年,边界层理论的历史发展,普朗特,47,Big whorls have little whorls, Which feed on their velocity; And little whorls have lesser whorls, And so on to viscosity,湍流级串（气象学家 Richardson，1921）,湍流发生（数学、气象学家 Lorenz，1961）,大涡模拟（气象学家 Deardorff, 1970）,湍流能谱（数学力学家 Kolmogorov, ，1941）,Richardson,Kolmogorov,- 5/3 定律,48,湍流扩散理论 湍流

15、梯度输送理论 湍流梯度输送理论的基本假定是：由湍流所引起的局地的某种属性的通量与这种属性的局地梯度成正比，通量的方向与梯度方向相反，比例系数 K 称为湍流交换系数。 湍流统计理论 泰勒应用统计学的方法来研究湍流扩散问题，提出了著名的泰勒公式。把湍流扩散参数和相关系数建立起关系，只要能找到相关系数的具体函数，通过积分就可求出扩散参数，污染物在湍流中扩散问题就得到解决。高斯烟流模式是在大量实测资料分析的基础上，应用统计理论得到的。 相似扩散理论 湍流扩散相似理论的基本观点是，湍流由许多大小不同的湍涡所构成，大湍涡失去稳定分裂成小湍涡，同时发生了能量转移，直到最小的湍涡转化为热能为止。从这一基本观点出发，利用量纲分析的理论，建立起某种统计物理量的普适函数，再找出普适函数的具体表达式，从而解决湍流扩散问题。,49,湍流扩散理论 梯度-输送理论 从平均场入手，利用湍流半经验理论（即通量和梯度之间呈线性关系）可推出湍流扩散方程，在一定的初始条件和边界条件下可获得方程的解。 但理论推导的结果和实际结果往往有很大出入。 统计理论 从研究个别流体微粒运动入手,并据此以确定表示扩散的特征量