03届 普通高等学校春季招生（北京数学文）试卷及答案

1、2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（文史类）（北京卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟. 第卷（选择题 共60分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. 正棱台、圆台的侧面积公式其中、c分别表示上、下底面周长l表示斜高或母线长球体的体积公式其中R表示球的半径参考公式：三角函数的积化和差公式 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共

2、60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设，且下列结论中正确的是( )ABCD2设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于( )ABCD23若，则方程的根是( )A2B2CD4若集合( )ABCD5若A，B，C是ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是( )ABCD 6在等差数列中，已知，那么等于( )A4B5C6D77设复数( )ABC D 8函数的递增区间依次是( )ABCD9在同一坐标系中，方程的曲线大致是( )10某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为(

3、 )A6B12C15D3011如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为( ) A90B60C45D012已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形 ( )A是锐角三角形B是直角三角形C是钝角三角形D不存在绝密启用前2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（文史类）（北京卷）第卷（非选择题 共90分）注意事项：1第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2答卷前将密封线内的项目填写清楚.题 号二三总 分171819202122分 数二、填空题：本

4、大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13函数的最小正周期为 14如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 15在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内年龄（岁）30 35 40 45 50 55 60 65收缩压（水银柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （ ）145舒张压（水银柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ ）8816如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为的正三

5、角形，则b2的值是 三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分12分）解不等式：18（本小题满分12分）已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. 19（本小题满分12分）如图，ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点. （）求三棱锥D1DBC的体积.； （）证明BD1平面C1DE； （）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.20（本小题满分12分）设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹. 21（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为300

6、0元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元. （）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？22（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆On的面积为. （）证明是等比数列； （）求的值.2003年普通高等学校春季招生考试 数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运

7、算. 每小题5分，满分60分. 1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 9.A 10.D 11.B 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13 14 15（140）（85） 16 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分. 解：原不等式.故原不等式的解集是. 18本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.解：由. 所以的定义域为 因为的定义域关

8、于原点对称，且 是偶函数. 又当 ， 所以的值域为19本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分. （）解：.（）证明：记D1C与DC1的交点为O，连结OE. O是CD1的中点，E是BC的中点，EOBD1.BD1平面C1DE，EO平面C1DE，BD1平面C1DE. （）解：过C作CHDE于H，连结C1H.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，C1C平面ABCD，C1HDE， C1HC是面C1DE与面CDE所成二面角的平面角.DC=2，CC1=1，CE=1， ， 即面C1DE与面CDE所成二面角的正切值为20本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.解：设动点P的坐标为（x，y）. 由.化简得当，整理得.当a=1时，化简得x=0.所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.21本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分13分.解：（）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车. （）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得.所以，当x=