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1、第二章答案1. 计算下列函数关于的：注：， 解：（1） （2） （3）（4） 2. 令，试证是在上带权的正交多项式，并求。解：是在上带权的正交多项式。3. 是区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式族，其中，求。 解法一：解法二：设，则由4. 求，使积分取得最小值。解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程或者按下述方法：因为上式分别对求偏导，并令其为零，有从而也有 ，5. 对，定义 问它们是否构成内积？（1）推出,即为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条 若，则必有反之，若，则且，由此可推得, 即内积公理第四条满足，故（2）

2、构成内积。6. 对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式。解： 7. 利用正交化方法求上带权的前三个正交多项式。解：8. 判断函数在上两两正交，并求一个三次多项式，使其在上与上述函数两两正交。解：（1）， ， 所以，在上两两正交。（2）设所求多项式为 9. 用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解。注：给定线性代数方程组，当时，称其为超定方程组。求使得 取最小值。应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明为方程组 的解。称为超定方程组的最小二乘解。解法一：由题意得：所以即是所求的最小二乘解。误差平方和为 解法二：求，使误差平方和为最小，令得方程组如下： 解方程组有： 10. 用最小二乘法求一个

3、形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。 192531384419.032.349.073.397.8解：将=19,25,31,38,44分别代入，得 所以误差11. 求形如的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。123456781532052743664916568781176解：设，两边取对数得令，则有 设，于是得到正规方程组:其中, ， 正规方程组化为:得=2.43689 =0.291211=2.43689所以=11.45 =0.291211=2.43689所以=11.45 1=0.29121112. 求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式： 解：设（1）(2) 。 13. 上求关于的最佳平方逼近多项式。解：Legendre是-1，1上的正交多项式取，=14. 求在上的三次最佳平方逼近多项式。解：15. 已知勒让德多项式，试在二次多项式类中求一多项式，使其成为上的最佳平方逼近函数

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