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1、第四章 窄带随机过程4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换一 希尔伯特变换的定义设有实信号，它的希尔伯特变换记作或，并定义为 用代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：也可得 希尔伯特反变换为经变量替换后得二 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个的理想移相器。从定义可以看出，希尔伯特变换是和的卷积，即于是，可以将看成是将通过一个具有冲激响应为的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函数为式中，为符号函数，其表达式为可得滤波器的传输函数为即 上式表明，希尔伯特变换相当于一个的理想移相器。由上述分析可得，的傅立叶变换为2. 的希尔伯特变换为，即。3. 若，则的

2、希尔伯特变换为4. 与的能量及平均功率相等，即此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。5. 设具有有限带宽的信号的傅氏变换为，假定，则有设与为低频信号，则4.1.2 解析信号由实信号作为复信号的实部，的希尔伯特变换作为复信号的虚部，即这样构成的复信号称为解析信号。设频谱为，并已知的频谱为，则可得复信号的频谱为4.1.3 复随机变量若X和Y分别是实随机变量，则定义Z为复随机变量Z=X+jY复随机变量的数字特征：1. 数学期望 复数2. 方差 实数3. 互相关矩若有两个复随机变量Z1=X1+jY1，Z2=X2+jY2，则它们的互相关矩为 4. 互协方差5. 互相独立、互不

3、相关、互相正交两个复随机变量互相独立需满足两个复随机变量互不相关需满足两个复随机变量互相正交需满足4.1.4 复随机过程若X(t)和Y(t)为实随机过程，则Z(t)=X(t)+jY(t)为复随机过程。复随机过程的数字特征：1. 数学期望 复时间函数2. 方差 实函数3. 自相关函数4. 自协方差函数当时，有由实随机过程广义平稳定义可直接类推出复随机过程广义平稳条件，若复随机过程Z(t)满足以下条件：则称Z(t)为广义平稳复随机过程。5. 互相关和互协方差函数若，则称Z1(t)和Z2(t)互不相关。若，则称Z1(t)和Z2(t)互相正交。若两个复随机过程各自平稳且联合平稳，则有6. 功率谱密度平稳复随机过程的功率谱密度仍定义为自相关函数的傅立叶变换，即两个联合平稳的复随机过程的互功率谱密度与互相关函数也是一个傅立叶变换对。4.1.5 解析过程定义：由实随机过程作为复随机过程的实部，的希尔伯特变换作为的虚部，即这样构成的复随机过程为解析随机过程。其中 解析过程的性质：

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