垂线 习题 (含答案)

1、2019年4月16日初中数学作业学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A过一点可以作无数条直线B垂线段最短C过两点有且只有一条直线D两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短 故选：B【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理2下列说法一个角的余角一定是锐角；因为12，所以1与2是对顶角；过一点与已知直线平行的直线只有一条；从直线外一点到这条直线的

2、垂线段叫做点到直线的距离；两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】解：一个角的余角一定是锐角，所以正确；相等的角不一定是对顶角，所以错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以错误故本题答案应为：A【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3如图，直线A

3、B和CD相交于O，那么图中 DOE与COA 的关系是（ ）A对顶角B相等C互余D互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到AOE=BOE=90，则DOE+BOD=90，再根据对顶角相等得到BOD=AOC，所以DOE+AOC=90，然后根据互余的定义进行判断【详解】解：OEAB，AOE=BOE=90，DOE+BOD=90，BOD=AOC，DOE+AOC=90，即DOE与COA互余故选：C【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直也考查了对顶

4、角和两角互余4下列说法正确的是( )A直线一定比射线长B过一点能作已知直线的一条垂线C射线AB的端点是A和BD角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误； B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确； C、射线AB的端点是A，故本选项错误； D、角的角度与其两边的长无关，错误； 故选：B【点睛】本题考查了直线、射线和线段相关概念： 直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹向两个方向无限延伸过两点有且只有一条直线 射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸5如图，BDAC于点D

5、，ECAB于点E，AFBC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）AAEBAFCADDOD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念6如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若1=60，2=90，3=120，4=150，则点P到直线MN的距离是（）AP，A两点之间的距离BP，B两点之间的距离CP，C两点之间的距离DP，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可【详解】2=9

6、0， 点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键7如图,直线AB、CD相交于点O,OEAB于O,EOC=35,则AOD的度数为A125B115C55D35【答案】A【解析】【分析】根据图形求得COB=COE+BOE=125；然后由对顶角相等的性质，求AOD的度数【详解】解：EOAB，EOB=90又COE=35，COB=COE+BOE=125AOD=COB（对顶角相等），AOD=125故选：A【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点本题也可以利用邻补角的定义先求得BOD=55，再由邻补角的定义求AOD的度数8下列说法中不正确的是

7、()A两点之间的所有连线中，线段最短B两点确定一条直线C小于平角的角可分为锐角和钝角两类D在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类9在同一平面内，下列判断中错误的是()A过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B垂直于已知线段并且经

8、过这条线段中点的垂线只有一条C垂直于已知直线的垂线只有一条D连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。【详解】A、B、D根据性质可知都是正确的，故不符合题意；C中 垂直于一直直线的垂线有无数条，本项错误，故符合题意；故本题答案应为：C【点睛】本题考查了垂线的定义及性质，是基础题，熟记概念和性质是解题的关键10如图，直线a与b相交于点O，MOa，垂足为O，若235，则1的度数为( )A75 B65 C60 D5

9、5【答案】D【解析】【分析】根据平角和垂线的性质解答即可【详解】2=35，MO直线a，1=180-9035=55.故选D.【点睛】本题考查垂线, 平角，熟练掌握垂线和平角的性质是解题的关键.11如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（ABCD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（）A两点之间线段最短 B点到直线的距离C两点确定一条直线 D垂线段最短【答案】D【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答【详解】要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(ABCD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，故选：D.【点睛】本题考查垂线段的性

10、质：垂线段最短.12如图，OMNP，ONNP，所以ON与OM重合，理由是( )A两点确定一条直线B经过一点有一条直线与已知直线垂直C过一点只能作一条直线D同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】【分析】利用在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而得出答案即可【详解】OMNP，ONNP，所以ON与OM重合，理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.故选D.【点睛】本题考查垂线，同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.二、填空题13在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OCOD，当AOC=30o时，BOD的度数是

11、_【答案】60或120【解析】【分析】此题可分两种情况，即OC，OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解【详解】解：当OC、OD在AB的一旁时，OCOD，COD=90，AOC=30，BOD=180-COD-AOC=60；当OC、OD在AB的两旁时，OCOD，AOC=30，AOD=60，BOD=180-AOD=120故答案为：60或120【点睛】此题主要考查了直角、平角的定义，注意分两种情况分析，理清图中的角之间的关系14平面内四条直线两两相交，最多有_ 个交点【答案】6【解析】【分析】画出符合条件的所有情况，即可得出答案【详解】四条直线两两相交有以下情况：交点个数最多有6个，故答案为：6【点

12、睛】本题考查了直线两两相交时交点的情况，关键是能画出符合的所有图形15如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段_的长度. 【答案】AP【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断【详解】解：根据点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则，可得：他的跳远成绩是线段AP的长度故答案为：AP【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则16若A与B的两边分别垂直,则这两个角的等量关系为_.【答案】互补或相等【解析】【分析】根据垂直的定义，作出草图即可判断【详解】如图1，A+B=360-902=180，如图

13、2，由三角形外角的性质可得：1=B+90=A+90，A=B所以A与B的关系是互补或相等故答案是：互补或相等【点睛】考查了垂直的定义和角的比较，注意作出图形有助于题意的理解，更形象直观并且不容易出错17如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且ABCD，130，则2_【答案】60【解析】【分析】根据题意由对顶角相等先求出 FOD，然后根据ABCD，2与 FOD互为余角，求出即可【详解】CD、EF相交于点OFOD=1=30ABCD2=90FOD=9030=60故本题答案应为：60【点睛】对顶角相等和垂线的定义及性质是本题的考点，熟练掌握基础知识是解题的关键.18如图，直线AB，CD相交于点O，OEO

14、F，OC平分AOE，且BOF2BOE，则BOD_.【答案】75【解析】【分析】首先根据OEOF，BOF=2BOE，求出BOE=30；然后求出AOE=150，再根据OC平分AOE，求出AOC的度数；最后根据BOD和AOC互为对顶角，求出BOD的度数即可【详解】OEOF，EOF=90，BOF=2BOE，3BOE=90，BOE=903=30，AOE=180BOE=18030=150，又OC平分AOE，AOC=12AOE=12150=75，BOD和AOC互为对顶角，BOD=AOC=75.故答案为：75.【点睛】本题考查垂线， 对顶角、角平分线，解题的关键是熟练掌握垂线， 对顶角、角平分线的性质.三、解

15、答题19如图，点O在直线AB上，COAB，BODCOD=34，求AOD的度数.【答案】118【解析】【分析】根据垂直的定义得到AOC=BOC=90，得到BOD+COD=90，根据已知条件即可得到结论.【详解】解：COAB，AOC=BOC=90，BOD+COD=90，BOD-COD=34，COD=28，AOD=AOC+COD=118.【点睛】本題考查了垂线以及角的计算，正确把握垂线的定义是解题关键.20如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上(1)过点C画线段AB的平行线CD；(2)过点A画线段BC的垂线，垂足为E；(3)过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F；(4)

16、线段AE的长度是点_到直线_的距离；(5)线段AE、BF、AF的大小关系是_.(用“”连接)【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析（4）线段AE的长度是点A到直线BC的距离（5）A，BC，AEAFBF【解析】【分析】123利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可；4利用垂线段的性质直接回答即可；5利用垂线段最短比较两条线段的大小即可【详解】1直线CD即为所求；2直线AE即为所求；3直线AF即为所求；4线段AE的长度是点A到直线BC的距离；5AEBE，AEAF，AEAFBF故答案为：A，BC，AEAFBF【点睛】考查了垂线段最短和点到直线的距离的知识，解题的关键是理解有关垂线段的性质及能进行

17、简单的基本作图21画图题：（1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺画线段AB的垂线CD和平行线CE（其中D、E为格点）（2）连接AC和BC，若图中每个最小正方形的边长为1，试求三角形ABC的面积是_【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）过点C作31的矩形的对角线所在的直线，可得AB的垂线和平行线；（2）设小方格的边长为1，利用三角形的面积求解即可【详解】解：（1）如图所示，直线CD和CE即为所求；（2）如图，连接AC和BC，设小方格的边长为1，则三角形ABC的面积=33-1213-1222-1213=4故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本作

18、图，割补法求图形的面积等知识.解题的关键是利用方格纸的特点正确的作出图形22（认识概念）点P、Q分别是两个图形G1、G2上的任意一点，当P、Q两点之间的距离最小时，我们把这个最小距离叫作图形G1、G2的亲密距离，记为d（G1，G2）例如，如果点M、N分别是两条相交直线a、b上的任意一点，则d（a，b）0（初步运用）如图1，长方形四个顶点分别是点A、B、C、D，边ABCD5，ADBC3那么d（AB，CD），d（AD，BC），d（AD，AB）各等于多少（深入探究）（1）在图1中，如果将线段CD沿它所在直线平移（边AB不动），且使d（CD，AB）不变，那么线段CD的中点偏离它原来位置的最大距离为多少

19、；（2）如图2，线段AB直线CD，AB1，点A到CD的距离为3，将线段AB绕点A旋转90后的对应线段为AB，则d（AB，CD）等于多少【答案】【初步运用】d（AB，CD）3，d（AD，BC）5，d（AD，AB）0；【深入探究】（1）CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为：5；（2）d（AB，CD）2或3，【解析】【分析】初步运用根据图形G1、G2的亲密距离的定义可得结论；深入探究（1）在图1中，注意线段CD平移的最远距离，可得结论；（2）如图2，要分情况讨论，可以顺时针和逆时针旋转，根据亲密距离的定义解决问题【详解】解：初步运用如图1，AB与CD的距离为AD3，d（AB，CD）3，AD和B

20、C的距离为5，d（AD，BC）5，AD和AB交于点B，d（AD，AB）0， 深入探究（1）如图所示：CD的原中点E和平称后的中点F的最大距离为：5；（2）将线段AB绕点A旋转90后的对应线段为AB或AB，如图2，延长AB交CD于E，ABABAB1，AE3，BE2，则d（AB，CD）2或3【点睛】本题考查了学生的理解能力和创新能力，题中通过介绍“亲密距离”来引出学生对动态图象最小距离的识别，这是新课标要求我们掌握的技能在深度理解亲密距离定义、特点后难度并不高，并且再讨论运动路径的时候需要学生动手作图理解运动过程，是一道非常值得学生锻炼的题目23如图，已知直线AB以及直线AB外一点P按下述要求画图

21、并填空：（1）过点P画直线MNAB；（2）过点P画直线PCAB，垂足为点；（3）量出点P到直线AB的距离约是多少cm（精确到0.1cm）【答案】（1）如图，直线MN为所作；见解析；（2）如图，PC为所作；见解析；（3）量得点P到直线AB的距离约是4.3cm【解析】【分析】（1）利用网格特点，过P点作小正方形的对角线得到MNAB；（2）利用网格特点，过P点作小正方形的对角线得到PCAB；（3）用刻度尺测量PC的长即可【详解】解：（1）如图，直线MN为所作；（2）如图，PC为所作；（3）量得点P到直线AB的距离约是4.3cm（精确到0.1cm）【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练正方形网格的性质对

22、角线与变成45角是关键24如图，三角形ABC是钝角三角形，用三角尺按下列要求画图；（1）画出过点A到线段BC所在直线的垂线段AE ;（2）画出表示点B到直线AC的距离的线段BF .【答案】见解析【解析】【分析】（1）把三角板的一条直角边与BC对齐，使另一条直角边经过点A，即可画出垂线段AE；（2）先延长CA，然后用三角板的两条直角边画图即可.【详解】如图，【点睛】本题考查了垂线段的画法在解答此题时，用到的作图工具是三角尺，正确掌握基本作图的作法是作图的关键同时考查了点到直线的距离的定义25如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，A、B、C都在格点上，利用网格画图：（注：所画线条用黑色签字笔描

23、黑）（1）过点C画AB的平行线；（2）过点B画AC的垂线，垂足为点G；过点B画AB的垂线，交AC的延长线于H（3）点B到AC的距离是线段 的长度，线段AB的长度是点 到直线 的距离（4）线段BG、AB的大小关系为：BG AB（填“”、“”或“=”），理由是 .【答案】（1）如图见解析；（2）如图见解析；（3）BG、A、BH；（4），直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【解析】【分析】（1）利用网格进而得出过点C画AB的平行线；（2）利用网格得出过点B画AC的垂线，以及画AB的垂线，交AC的延长线于H；（3）利用点的直线以及线段的距离定义得出答案；（4）利用点到直线的距离性质得出答

24、案【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）点B到AC的距离是线段 BG的长度，线段AB的长度是点 A到直线 BH的距离故答案为：BG、A、BH；（4）线段BG、AB的大小关系为：BGAB，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（填垂线段最短也算对）故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（填垂线段最短也算对）【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格是解题关键26如图，根据下列要求画图：（1）画直线AC，线段BC和射线BA；（2）画出点A到线段BC的垂线段AD；（3）用量角器（半圆仪）测量ABC的度数是 （精确到度）【答案】

25、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）70【解析】【分析】（1）根据直线、线段、射线的定义进行画出即可；（2）利用直角三角板，将三角板中直角的一边放在BC上，然后移动三角板，当另一条直角边经过点A时，过点A及直角顶点画线段即可；（3）利用量角器进行测量即可【详解】（1）如图所示；（2）如图，AD为所作；（3）量出ABC的度数为70，故答案为70【点睛】本题考查了作图知识的把几何语言转化为几何图形的能力，三角板的使用，量角器的使用等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作27如图，已知直线a，b，点P在直线a外，在直线b上，过点P

26、分别画直线a，b的垂线【答案】图形见解析.【解析】【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线分别画出即可【详解】解：如答图所示，PA为直线a的垂线，PB为直线b的垂线 【点睛】垂线的作法是本题的考点，熟练掌握作图方法是解题的关键.28如图，已知O为直线AB上的一点，CDAB于点O，POOE于点O，OM平分COE，点F在OE的反向延长线上(1)当OP在BOC内，OE在BOD内时，如图所示，直接写出POM和COF之间的数量关系；(2)当OP在AOC内且OE在BOC内时，如图所示，试问(1)中POM和COF之间的数量关系是否发生变化？并说明理由【答案】（1）POM12CO

27、F，理由见解析；（2）POM12COF，理由见解析【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，CDAB，POEO，等量代换得COP=BOE，利用角平分线的性质，得POM=12POB=12(90-POC)，COF=90-COP，得出结论；（2）利用垂直的定义，同角的余角相等可得COPAOF，可推出COPCOBAOFAOC，即BOPCOF，由对顶角相等得AOFBOECOP，利用角平分线的性质，得COPCOMBOEMOE，即POM12BOP，等量代换得出结论【详解】解：(1)POM12COF.证明：CDAB，COP+BOP=90，OPOE，BOE+BOP=90，COP=BOE，OM平分COE，POM=MOB=12POB=12 (90POC)，COF=90COP，POM=12COF；(2)不发生变化理由：CDAB于点O，AOPCOP90.POO