复变函数第3讲x

1、1,复变函数的主要研究对象是解析函数.因为，一方面它具有比较良好的性质，如能展成幂级数，具有任意阶导数，实、虚部皆为调和函数；另一方面这也是实际问题中应用较为广泛的一类函数，如平面无旋流体的流函数与势函数，静电场中的电通量和电位，它们皆与解析函数有密切联系.,第二章 解析函数,2,主要内容： 1、解析函数的概念； 2、解析函数的判别方法； 3、五类基本初等函数.,第二章 解析函数,3,1 解析函数的概念,1、导数定义,定义 设函数w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD， 如果极限 存在，则称函数 f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作,如果w=f(z)在区

2、域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导.,4,也就是说, 对于任给的e0, 存在d(e)0, 使当0|Dz|d 时, 有,应当注意, 定义中z0+Dzz0(即Dz0)的方式是任意的, 定义中极限值存在的要求与z0+Dzz0的方式无关, 也就是说, 当z0+Dz在区域D内以任何方式趋于z0时, 比值,5,若上述极限不存在，则称函数在z0点不可导.,结果与实函数一样.,解：根据定义，得,6,2、 可导与连续之间的关系,与实函数一样，可导一定连续，但反之不成立.,事实上, 由在z0点可导的定义, 对于任给的e0, 相应地有一个d0, 使当0|Dz|d 时, 有,7,连续不一定可导，请举出反例

3、说明.,例1,8,思考,例2 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？,解,注：一个复变函数的可导性要求条件比较高！,9,由于复函数与实函数的导数定义和极限运算法则在 形式上完全一致，因而二者具有相同的求导法则：,3、 求导法则,10,（5）反函数的导数 ，其中 w=f (z) 与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.,这样，我们知道多项式处处可导.例如，,另外，有理分式在分母不为零的点处可导.,11,思考题,提示：,例如,12,事实上,13,4、 微分,设函数w=f(z)在z0可导, 则有 Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f (z0)Dz+r(Dz)Dz,因此, |r(Dz)Dz|是|

4、Dz|的高阶无穷小量. 而f (z0)Dz是 w=f(z) 的改变量Dw的线性部分, 称为函数 w=f(z) 在点 z0 的微分, 记作 dw=f (z0)Dz. 如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f(z) 在z0可微.,14,5、 解析函数的概念,不解析的点称为奇点.,注：（1）可导与解析是两个完全不同的概念，解析 一定可导，但可导未必解析.不解析的点可能可导， 即解析的条件比可导要强，但我们却有以下结论：,定理 若函数在区域D内可导，则在D内一定解析.,即在区域上，可导与解析是等价的. （为什么？）,15,即不可能存在离散的、孤立的解析点.,另外，由求导法则，不难看出： 解析函数的和、

5、差、积、商仍为解析函数， 解析函数的复合函数仍为解析函数.,于是,16,2 函数可导与解析的条件,本节内容：介绍一种判别函数可导性、解析性的非常有效的方法；建立函数的可导性与其实、虚部 之间的关系.,17,本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法.,关于这个问题，我们有下面非常重要的结论：,18,定理的详细证明请参见课本第19页；下面我们讨论几个注意的问题.,使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性； ii) 验证C-R条件.,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,19,注（3）利用该定理可以判断那些函数是不可导的.,20,定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程,注：如何验证一个实函数的可微性？ 由高数中定理，只要它具有连续的一阶偏导数即可. 另外注意，初等函数的性质.,21,下面,我们讨论几个题目.,例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：,22,23,例3,证明,24,小 结,1、导数的概念，复变