几何与代数课件：lec9-矩阵的秩和初等阵

1、指派问题的数学模型,人员i能否完成工作j,人员i只能完成一项工作,工作j只能由一个人完成,总的工作时间最少,给n个工作人员x1, x2, xn安排n项工作y1, y2, yn. 如果第i个工作人员完成第j项工作的时间为cij , 求一个使总工作时间最少的工作分配方案.,工作分配问题 (指派问题) (Assignment Problem),思考题：请写出线性方程组(1)(2)的系数矩阵，并用分块矩阵描述。,一. 秩的概念,2.4 矩阵的秩,三. 矩阵的等价标准形,A中非零子式的最高阶数, 记为r(A).,注1. 0 r(Amn) minm, n,2. 性质 (1) 反身性: A A. (2) 对

2、称性: A B B A. (3) 传递性: A B, B C A C.,矩阵间的相抵关系是一种等价关系.,注：初等变换包括初等行变换和初等列变换.,3. 通过初等行变换将矩阵化为与其等价的 行最简形矩阵,三. 矩阵的等价标准形,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,解:,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,例1.用初等变换将A化为与其相抵的最简形矩阵,rref是初等行变换下的最简形,初等变换下的最简形,等价标准形,r(A)=3,行阶梯形,Amn,行最简形,等价标准形,一般地,定理2.3. A,B为mn矩阵, 则A, B相抵 r(A) = r(B).,证明: () 因为初等变换不改变矩阵的秩.,由相抵的传

3、递性可得AB.,() 设秩(A)=秩(B)=r.,Er Or(nr) O(mr)r O(mr)(nr),第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,品名: 矩阵,规格: mn,数量: ,产地: SEU,小心轻放,堆码层数,向 上,怕湿防潮,说明:内有无数mn矩阵, 按秩的不同共分为minm, n+1包.每包的代表为 ,其中 r = 0, 1, 2, , minm, n.,第二章 矩阵,2.4 矩阵的秩,相抵关系的不变量为秩, 最简形为 .,从动物连连看谈动物的等价分类,7,品名: 动物,数量: ,“秩”：动物名称,等价关系：“同类”,问题的提出:,如果对于单位矩阵E进行一次初等变 换, 它会变成什么样?

4、如果矩阵A经过一次初等变换变为B, 那么A与B间如何建立等量关系?,“初等矩阵”,第i列,第j列,(1),1.初等矩阵:,一次初 等变换,P(i(k) =,第i行,1,k,1,1,第 i 列,1,(2),第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,1.初等矩阵:,一次初 等变换,P(i,j(k) =,第i行,1 k,1,1,第j行,第i列,第j列,1,(3),第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,1.初等矩阵:,一次初 等变换,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,总结:,ri rj,rik,ri+krj,ci cj,cik,ci+kcj,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,定理2.4,一次初等 行变换,一次初等 列变换

5、,其中P为相应的初等阵.,(左行右列),第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,例2.设,，则,定理2.4,一次初等 行变换,一次初等 列变换,其中P为相应的初等阵.,(左行右列),第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,P(i,j) =,第i行,1,1,0 1 1 0,1,1,1,1, , ,第j行,第i列,第j列,P(i,j)1 = P(i,j),(1),第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,P(i(k) =,第i行,1,k,1,1,第 i 列,1,(P(i(k)1 = P(i(1/k),(2),第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,P(i,j(k) =,第i行,1 k,1,1,第j行,第i列,第j列,1, A1CB

6、1=(00 k),P(i,j(k)1 = P(i,j(k),(3),第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,命题. 初等矩阵都可逆, 且P(i,j)1 = P(i,j), (P(i(k)1 = P(i(1/k), (P(i,j(k)1= P(i,j(k).,命题. 对mn矩阵A, 总存在行最简形阵U和m阶初等阵P1,P2, Ps ,使得 P1P2Ps A = U .,问题：可逆方阵A的行最简形矩阵U=？,E, 可逆方阵 A = Ps1 P21 P11.,定理2.5 n阶方阵A可逆 A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2, , Ps ,使得A = P1P2Ps .,二. 用初等变换求逆矩阵,第二章

7、 矩阵,2.5 初等矩阵,推论2.1 设A,B都是mn矩阵，则AB 存在初等阵使B=P1Ps AQ1Qt 存在m, n阶可逆阵P,Q使得B=PAQ.,定理2.5 n阶方阵A可逆 A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2, , Ps ,使得A = P1P2Ps .,推论2.3 对mn矩阵A, r(A) =r 存在初等阵使A=P1Ps Q1Qt 存在m, n阶可逆阵P,Q使得 A=P Q., A,B同型，且r(A) = r(B) = r(PAQ).,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,(方阵A可逆 ), A为非奇异阵、非退化阵、满秩, A与E相抵, A的行最简形矩阵为E., A=初等矩阵的乘积，即

8、存在初等矩阵P1,P2, , Ps ,使得A = P1P2Ps .,(A,B为方阵. ),可逆阵A,Ps Ps-1P2P1(A E) = (E, A1 ),Ps Ps-1P2P1 A=E,(A E),(E A1),A1,二. 用初等变换求逆矩阵,可逆方阵A的行最简形矩阵U=,E,Amn,行最简形U, P1,P2, Ps A = U,E,用初等变换求逆矩阵,Ps Ps-1P2P1 E = A1,例3. 设A =,1 2 3 2 2 1 3 4 3, 求A1.,r2 2 r1,r3 3 r1,r3 r2, 1/2r2;, r3,r25/2r3 r1+2r3,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,r1 2

9、 r2,例4 求A的逆矩阵：,解:,A不可逆,r2 2 r1,r3 r2,A不与E 相抵,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,注: 当求一个逆矩阵时，事先不必知道A是否可 逆，因为当A不可逆时，A就不可能通过初等行 变换化成单位阵，此时，则可判别A不可逆。,(A E),(E A1),用初等变换求逆矩阵,(A E),(E A1),相当于左乘A1,(A B),(E ),相当于左乘A1,A1B,相当于解AX=EX=A1,相当于解AX=BX=A1B,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,例5. 设A =, B =,2 5 3 1 4 3,求矩阵X 使AX = B.,r2 2 r1,r3 3 r1,r3 r2,r

10、25/2r3 r1+2r3,1 2 3 2 2 1 3 4 3,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵, 1/2r2;,r1 2 r2, r3,XA = BX = BA1,(A E),(E A1),(A B),(E A1B),相当于左乘A1,AX=BX=A1B,A B,E BA1,相当于右乘A1,A E,E A1,左行右列,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,二. 用初等变换求逆矩阵,(左行右列),A可逆, A E,A = P1Ps,(A E),(E A1),(A B),(E A1B),解AX=BX= A1B,解XA=BX= BA1,一. 初等阵与初等变换,一次初等 行变换,(左行右列),一次初 等变换,

11、AB存在可逆阵P,Q使得B=PAQ,A,B同型r(A)=r(PAQ),A B,E BA1,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,1. 分块初等变换与分块初等阵,分块初等变换:,分块初等矩阵:,一次分块 初等变换,三. 矩阵的代数运算与矩阵的秩,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,定理.,一次分块 初等行变换,一次分块 初等列变换,其中E为相应的分块初等阵.,左行右列,分块初等矩阵:,一次分块 初等变换,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,证明:,A,B的最高阶非零子式也是 的非零子式.,设U1,U2为A, B的行最简形.,推论2.4.,则存在可逆阵P1,P2, 使得P1A = U1, P2B = U2.,第

12、二章 矩阵,2.5 初等矩阵,2. 矩阵的秩的性质,r(A,B),证明:,推论2.5.,若矩阵A,BRmn, 则 r(A+B) r(A)+r(B).,则(A,B)与(A+B,B) 相抵.,推论2.4.,证明:,r(AB) r(A)+r(B).,推论2.5.1,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,r(A) r(B) r(AB) .,推论2.5.2,r(A)= r(A+BB) r(A+B)+r(B).,r(A) r(B) r(A+B) .,推论2.5.,r(A) r(B) r(AB) r(A)+r(B).,推论2.4.,推论2.6.,G,H,= s + t,设A,B的最高阶非零子式分别为|As|, |

13、Bt| ,则可得到G,H的一个 s+t 阶非零子式=|As| |Bt|0 ,对G, 这是一个最高阶非零子式,r(G) = s+t,对H, 至少有这样一个s+t 阶非零子式,r(H) s+t,=3,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,推论2.4.,推论2.7.,若矩阵ARsn, BRnt,推论2.5.,r(A) r(B) r(AB) r(A)+r(B).,推论2.6.,证明:,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,第一章 矩阵,1.7 矩阵的秩,性质1.7.,推论2.7.,若矩阵ARsn, BRnt,性质1.8.,r(A) r(B) r(AB) r(A)+r(B).,性质1.9.,设r(A)=r,可逆阵P

14、,阶梯阵Ur,证明:,推论2.4.,推论2.7.,若矩阵ARsn, BRnt,推论2.5.,r(A) r(B) r(AB) r(A)+r(B).,推论2.6.,推论2.8.,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,解1: 设,例6.,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,若向量Rn(n1), 0, A=T, 求r(A), |A|.,设, r(A) = 1,r1/ a1,riai r1 i=2,n, A, n, A不可逆, |A| = 0.,解2: 设,例6.,若向量Rn(n1), 0, A=T, 求r(A), |A|.,设,第二章 矩阵,2.5 初等矩阵,A中各行之间成比例., |A| = 0.,解2: 设, r(A) = 1,即A中存在一个一阶非零子式., r(A) 1,另一方面, r(A) = r(T) r() = 1,1.相抵(等价)关系下的不变量和最简形阵是什