几何与代数课件：lec16 子空间的基和维数

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,教学内容和学时分配,第四章 n维向量,问题式预习及思考题,1. 什么是向量空间的基和维数？,3. 如何求一个向量在两组基下的坐标？,思考题,请总结一个m行n列矩阵A的秩等于r的充要条件都有哪些？,2. A的列空间R(A)的基和维数是什么？,非零子式的最高阶数,矩阵的秩,A中至少有一个 r级子式0, 任一k(r)级子式=0.,r(Amn) = r A P,Q可逆,A =P Q., r(A) = r(AT),r(A)、A的行向量组的秩 、A的列向量组的秩间的关系？,A的列向量组中存在r个线性无关的向量， 但任意r+1个向量线性相关.,与A的列向量组等价的任意

2、一个线性无关向量组均含r个向量,A的列向量组中任意r个线性无关的向量都是其极大无关组;, A的列向量组中任意极大无关组均含有r个向量.,三. 向量组的秩与矩阵的秩, 矩阵A与B的行向量组等价 (行等价),初等行变换不改变行(向量组的)秩,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性, B的行向量组能由 A的行向量组线性表示, A的行向量组能由 B的行向量组线性表示,(i1, i2, , is) x = 与 (i1, i2, , is ) y = 同解,初等行变换不改变列(向量组的)秩,(i1, i2, , is)线性相关 (i1, i2, , is )线性相关,(i1, i2, , is)线性无

3、关 (i1, i2, , is )线性无关,初等行变换不改变列向量组间的线性关系,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性,(i1, i2, , is) x = it 与 (i1, i2, , is ) y = it 同解,初等行变换不改变列(向量组的)秩,若it = k1i1+ k2i2+ + ksis,则it = k1i1 + k2i2+ + ksis,初等行变换不改变列向量组间的线性关系,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性,秩(1, 2, 3, 4, 5) = 3.,秩(1, 2, 3, 4) = 3.,阶梯阵A的行秩 = 秩(A),三. 向量组的秩与矩阵的秩,1 0 2 0

4、4 0 1 3 0 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性,阶梯阵A的列秩 = 行秩(AT) = 秩(AT),= 秩(A),=列秩,阶梯阵的主列是该阶梯阵列向量组的极大无关组；,初等行变换不改变行秩.,初等行变换不改变列秩 .,阶梯形矩阵的行秩 = 秩 = 列秩,定理4.6. 任意矩阵的行秩 = 秩 = 列秩.,三. 向量组的秩与矩阵的秩,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性,初等行变换不改变秩 .,矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩一样.,非零子式的最高阶数,矩阵的秩,A中至少有一个 r级子式0, 任一k(r)级子式=0.,3) r(A

5、mn) = r A P,Q可逆,A =P Q., r(A) = r(AT), A的行向量组的秩 =A的列向量组的秩 = r(A),A的行(列)向量组中存在r个线性无关的向量， 但任意r+1个向量线性相关.,与A的行(列)向量组等价的任意一个线性无关向量组均含r个向量,A的行(列)向量组中任意r个线性无关的向量都是其极大无关组;, A的行(列)向量组中任意极大无关组均含有r个向量.,=行秩(A) = 列秩(A),例1. 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组.,解:,故A的第1,2,4列为A的列向量组的一个极大无关组.,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性,行最简形的主列是其列向量组的极大无关

6、组,初等行变换不改变列向量间的线性关系,阶梯阵的主列对应的原矩阵的列也是原矩阵列向量组的极大无关组；,例1. 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组.,解:,故A的第1,2,4列为A的列向量组的一个极大无关组.,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性,初等行变换不改变列向量间的线性关系,并把其余列用此极大无关组线性表示.,B3 = B1 B2 ,A3 = A1 A2 ,B5=4B1+3B23B4.,A5=4A1+3A23A4.,求一个向量组的极大无关组的方法：,阶梯阵的主列对应的原矩阵的列是原矩阵列向量组的极大无关组；,将向量组按列向量组构成矩阵,若要将非主列用极大无关组线性表示, 则要化成

7、行简化阶梯阵.,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性,注3: 极大无关组为原矩阵A中的列,注2: 初等行变换,注1: 按列向量组构成矩阵,1 0 2 0 4 0 1 3 0 2 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0,求一个向量组的极大无关组的方法：,初等行变换不改变列向量间的线性关系,按列向量组构成矩阵,第四章 n维向量,4.2向量组的线性相关性,能否按行向量组构成矩阵,初等行变换是否也不改变行向量间的线性关系 ？,线性无关,线性相关,可能改变,不建议,r2r3,行,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,1,s与1, ,t等价L(1,s)=L(1,t),问

8、题的提出：一个子空间的生成元组不是唯一的，是否存在最小的生成元组呢？,等价,线性无关,极大无关组,生成子空间的极大无关组,(i) I0l.i.; (ii)II0,I0,l.d. I可由I0线性表示,L(1,2,s) 可由1,s线性表示,1,s可由其极大无关组i1,ir线性表示,i1,ir也是L(1,2,s)的极大无关组.,4.3 子空间的基和维数,一. 基和维数,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,1, , s,能由1, , s线性表示,线性无关,V的一组基,V的维数dimV = s,本质为极大无关组,注2:零空间没有基, 规定dim = 0.,注1: 基不唯一, 任意两组基都是等价的

9、,且都含有s个向量.,本质为向量组的秩,生成子空间的基和维数,1, , r,能由1, , r线性表示,线性无关,V的一组基,V的维数dimV = r,本质为极大无关组,本质为向量组的秩,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,dim(L(1,s) = r (1,s ).,L(1,2,s)的一组基: 1,2,s的极大无关组,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,L(1,2,s)的一组基: 1,2,s的极大无关组,dim(L(1,s) = r(1,s).,设矩阵ARns, 称L(A1, A2, , As)为A的列空间. A的列空间的基为列向量组的极大无关组. di

10、m(L(A1, A2, , As) = r(A1, A2, , As) = r(A).,设矩阵ARns, 称L(A1, A2, , As)为A的列空间. A的列空间R(A)的基为列向量组的极大无关组. dim(R(A) = r(A).,求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.,解:,A1, A3是L(A1, A2, A3, A4)的一组基, 可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2.,L(A1, A3) =,A2, A3,B2,B3为基?,求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.,解:,A1, A3是L(A1, A2, A3, A4)的一组基, 可见dim

11、 L(A1, A2, A3, A4) = 2.,L(A1, A3) =,A1, A4,B2,B3为基?,否,B2=x1A1+x3A3?,无 解,B2L(A1, A3),不能取变换后的B2,B3为基.,求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.,解2:,C1, C2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.,C1 C2,基？,B2=x1A1+x3A3?,B2L(A1, A3),不能取变换后的B2,B3为基.,否,初等行变换前后的行向量组是等价,AT =,无 解,生成子空间的基为向量组的极大无关组.,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,dim(L(1,

12、s) = r (1,s ).,法1：按列向量组构成矩阵,阶梯阵,阶梯阵的主列对应的原矩阵的列是生成子空间的一组基；,法2：按行向量组构成矩阵,阶梯阵,阶梯阵的非零行是生成子空间的一组基.,建议方法：法1，和列向量组的极大无关组一致,4阶Drer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,A=,B=,Drer魔方,从杜勒魔方到向量空间,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,允许构成魔方的

13、数取任意实数,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,记 D=A=(aij)R44|A为Drer魔方,则D构成一个向量空间，称为Drer魔方空间.,无穷多个,求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Drer魔方.,从杜勒魔方到向量空间,Drer魔方空间,求Drer魔方空间的基,培养化繁为简的思考模式,类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。,凭空构造魔方空间的一组基是很难的,7,令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和,Q1=,1,1,1,1,1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第

14、三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,Q8,求Drer魔方空间的基,1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,Q8,Drer魔方空间,向量空间的应用,显然， Drer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？,求Drer魔方空间的基,Drer魔方空间,向量空间的应用,Q1,Q8线性相关,显然， Drer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？,求Drer魔方空间的基,求Dr

15、er魔方空间的基,由,线性无关。,求Drer魔方空间的基,由,线性无关。,Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.,可得,Drer魔方空间是7维的,Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.,构造Albrecht Drer的数字魔方,=,=,坐标,2. 向量在基1, , r下的坐标,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,1, , r,能由1, , r线性表示,线性无关,V的一组基,V, 唯一的一组有序实数k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 称r维向量,(k1, k2, , kr)T为 在基1,r下的坐标.,且表示方

16、式唯一.,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,V, 唯一的一组有序实数k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 称r维向量,(k1, k2, , kr)T为 在基1,r下的坐标.,注3: 基不唯一,且是有序的,在不同基下的坐标不同,在基e1, e2, e3下的坐标为(1,2,3)T,在基e1, e3, e2下的坐标为(1,3,2)T,例2.,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,V, 唯一的一组有序实数k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 称r维向量,(k1, k2, , kr)T为 在基1,r下的坐标.,注3: 基不唯一,且是有序

17、的,在不同基下的坐标不同,在基e1, e2, e3下的坐标为(3,3,3)T,在基3e1, 3e2, 3e3下的坐标为(1,1,1)T,(尺),(米),例3.,不同的基只是选用不同的度量单位而已。,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,在基e1, e2, e3下的坐标为(3,3,3)T,在基3e1, 3e2, 3e3下的坐标为(1,1,1)T,(尺),(米),例3.,1, 2, 3,两组基I:e1, e2, e3与II:1, 2, 3之间的关系如何？,从基I到II的过渡矩阵,C,从1, , s到1, , s的过渡矩阵,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,3. 过渡矩阵,1, 2,

18、 , sRn V 的一组基,1, 2, , sRn V 的另一组基,A = (1, 2, , s), B = (1, 2, , s),B = ACss,s = 秩(B), C可逆, 秩(C), s,秩(C) = s, A = BC1,从1, , s到1, , s的过渡矩阵为C1,1, 2, , s可由1, 2, , s线性表示,A,B可逆吗？,A,B不是方阵,从1, , n到1, , n的过渡矩阵,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,3. 过渡矩阵,1, 2, , n Rn Rn 的一组基,1, 2, , n Rn Rn的另一组基,A = (1, 2, , n), B = (1, 2,

19、 , n),B = ACnn, C可逆,特别的，, C为Rn在两组基下的过渡矩阵.,C可逆,证明必要性：,C可逆, C1, , Cn为Rn的一组基., C为e1, e2, , en到C1, , Cn的过渡矩阵.,A,B可逆吗？,A,B是方阵且可逆,1, 2, , n可由1, 2, , n线性表示,n阶方阵A可逆, A与E相抵, A的行最简形矩阵为E., A = P1P2Ps, Pi为初等阵.,多角度看可逆阵, A的行(列)向量组线性无关, 任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示, A的行(列)向量组的秩都是n.,(非奇异阵、非退化阵),(满秩), A的行(列)向量组是Rn的基., A为Rn

20、在两组基下的过渡矩阵., A的列空间的维数为n.,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,4. 坐标变换公式,1, 2, , s Rn V 的一组基,1, 2, , s Rn V 的另一组基,A = (1, 2, , s), B = (1, 2, , s), = x11 + + xss,B = AC, A = BC1,= Ax,= y11 + + yss,= By,= AC y,1, 2, , sV 的一组基,1, 2, , sV 的另一组基,A = (1, 2, , s), B = (1, 2, , s), = x11 + + xss,B = AC, A = BC1,A(xCy) = ,= Ax,= y11 + + yss,= By,= ACy, xCy = , x = Cy, y = C1x,4. 坐标变换公式,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,Az = 只有零解,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,定理4.8.,1, 2, , s Rn V 的一组基,1, 2, , s Rn V 的另一组基,A = (1, , s), B = (1