几何与代数课件：lec20-矩阵的特征值与特征向量

1、,几何与代数,2010年国家级精品课程,十秒钟加数,2,时间到！,答案是 6710。,请用十秒，计算出左边一列数的和。,“斐波那契数列”,若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：,3,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,意大利数学家斐波那契的算盘书（1202年）,“十秒钟加数”揭密,4,右式的答案是：,610 11 = 6710,数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！,Fibonacci兔子问题,5,假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对(雌雄)兔子，那么，由一

2、对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？,解答,1 月1 对,6,解答,1 月1 对,7,2 月1 对,解答,1 月1 对,8,2 月1 对,3 月2 对,解答,1 月1 对,9,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,解答,1 月1 对,10,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,解答,1 月1 对,11,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,6 月8 对,解答,1 月1 对,12,2 月1 对,3 月2 对,4 月3 对,5 月5 对,6 月8 对,7 月13 对,1) 分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔

3、子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。,13,2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数.,1. 培养观察问题分析问题的能力,=上个月大兔对数 +上上个月大兔对数.,1) 分析问题、抓住本质、简化。 本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子.求的是大兔子与小兔子的总和。,14,2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数.,1. 培养观察问题分析问题的

4、能力,= 前两个月大兔对数之和.,15,1. 培养观察问题分析问题的能力,月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔子总数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233,二阶递推公式,2）深入观察发现规律 每月小兔对数 =上个月大兔对数. 每月大兔对数 =上个月大兔对数 +上个月小兔对数.,= 前两个月大兔对数之和.,Fn,16,3）深入研究问题,1. 培养观察问题分析问题的能力,二阶递推公式,由,可得,17,3）深入研究问题,1. 培养观察问题分析问题的能力,二阶递

5、推公式,因此,问题的提出：设 A 是n阶方阵 , 求Ak ?,分析：,(1) 若A是对角阵，则易求 Ak =k.,(2)一般方阵A可与对角阵相抵，即存在n阶可逆阵P,Q, 使得 A =PQ.,Ak = (PQ) (PQ)(PQ),若Q =P1 ,则 Ak =Pk Q = Pk P1,(3) 因此，当存在n阶可逆阵P, 使得 P1AP =(对角阵 )时, 易求方阵Ak.,此时称方阵A可与对角阵相似。,2. 培养观察问题分析问题的能力,3）深入研究问题,问题：当A可与对角阵相似, P 与的关系如何 ?,当方阵A可与对角阵相似，即存在n阶可逆阵P, 使得 P1AP =(对角阵 )时, 易求方阵Ak.

6、,P1AP =,设P 的列向量为p1, p2, , pn. 显然它们线性无关.,即A(p1, p2, , pn) = (1p1, 2p2, , npn),即 A pi = i pi, i=1,n,特征值,特征向量,pi ,2. 培养观察问题分析问题的能力,则AP = P = Pdiag(1, 2, , n),3）深入研究问题,教学内容和学时分配,第五章 特征值与特征向量,1. 定义, = ,n阶方阵,非零向量,特征值(eigenvalue),特征向量(eigenvector),第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,一. 特征值、特征向量的概念

7、,A,数,注1. 几何意义,A33,/,注2. ,否则, = , R, A = = ,但是可以 =0, 此时,A = 0 = ,eigshow(A),显示不同的单位向量x及经变换后的向量y=Ax,特征值和特征向量：0, s.t. A = ,A = ,(EA) = 0,|EA| = 0,特征方程,=,特征多项式,特征值,特征向量, ,对每个, 求(EA)x = 0的基础解系 1,2,t,对应于的所有特征向量为 k11+k22+ktt , k1, kt 不全为0.,2. 计算,先解|EA|=0, 求出所有特征值,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: |EA| = (+1)

8、( 2)2. 所以A的特征值为1= 1, 2= 3= 2. (EA)x = 的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= 1的特征向量为k1p1 (k10). (2EA)x = 的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).,例1. 求,的特征值和特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: |EA| = (2)(1)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2EA)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于

9、1=2的特征向量为k1p1 (k10). 对于2=3=1, 求得(EA)x = 0 的基础解系: p2=(1, 2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为k2p2 (k20).,例2. 求,的特征值和特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解1:,所以A的全部特征值为 0(n1重根),例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,设a10,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: 当=0时, (EA)x = 0, 即Ax = 0.,不妨设,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,对应=0的 特征向量为,不全 为0,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,此时，线性无关的特征向量只有一个.,解: 当= T时, (T EA) x = 0.,因为Ax = x.,即 x = x.,注意到,所以即为A的对应特征值 = T的特征向量.,所以只要找一个非零向量满足上述方程即可.,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,r(TEA) + r(x) n.,r(TEA) n1.,r(TEA)+r(A) r(TEA+A) = r(TE) = n.,r(TEA) = n1.,则对应 = T的特征向量为,r(A)=1,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,(