生产运作管理课堂报告：s02 战略制定的博弈分析模型

1、博弈的三个基本要素： 1.局中人(Player)： 参与对抗的各方；参与人是理性的、智能的。 2.策略集(Strategy set)： 局中人选择对付其它局中人的行动方案称为策略。 某局中人的所有可能策略全体称为策略集； 3.局势对策的益损值(支付 Payoff)： 各局中人各自使用一个对策就形成一个局势，一个局势决定了个局中人的对策结果(量化),称为该局势对策的益损值.,博弈的其它要素： 1.虚拟参与人(Pseudo-player) 指 “自然” （Nature）、“上帝” God，也即决定外生的随机变量的概率分布的机制。 2.行动的顺序(the order of play) 博弈中参与人实

2、施决策活动的顺序。同时或有先有后。 其他因素不变，但顺序不同，博弈的结果也不同。 不同顺序意味着不同的博弈。静态博弈和动态博弈。 3. 信息 (Information) 指一个博弈中参与人有关该博弈的知识，如关于N的选择、其他参与人的策略集、支付函数、行动时间等. 完全信息、完美信息、共同知识、私人信息,“田忌赛马”齐王在各局势中的益损值表,齐王的策略集: S1=1, 2, 3, 4, 5, 6 田忌的策略集： S2=1, 2, 3, 4, 5, 6 下列矩阵称齐王的赢得矩阵： 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1 A= 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1

3、 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3,二人有限零和对策： （又称二人有限零和博弈、矩阵对策、矩阵博弈） 局中人为2； 每局中人的策略集中策略权目有限； 每一局势的对策均有确定的损益值，并且对同一局势的两个局中人的益损值之和为零； 同时行动，静态博弈。,记矩阵对策为: G = S1, S2, A “齐王赛马”即是一个矩阵策略.,甲的策略集,乙的策略集,甲的赢得矩阵,矩阵对策的最优纯策略,在甲方赢得矩阵中： A=aijmn I 行代表甲方策略 i=1,2m J 列代表乙方策略 j=1,2n aij代表甲方取策略 i,乙方取策略 j, 这一局势下甲的益损值，此时乙的益损值为-aij（零和性质

4、）。 在讨论各方采用的策略是必须注意一个前提就是对方是理智的。这就是要从最有把握取得的益损值情况考虑。,例：有交易双方公司甲和乙，甲有三个策略1，2，3；乙有四个策略1，2，3，4，根据获利情况建立甲方的益损值 赢得矩阵。 问：甲公司应采取什么策略比较适合？,甲：采取1至少得益3 2 0 3 -4 乙：采取1甲最多得益2(乙最少-2 ) 2 3 (乙-3 ) 3 0 (乙 0 ) 4 3 (乙-3 ),甲采取策略2 不管乙采取如何策略，都至少得益。 乙采取策略3 不管甲采取如何策略，都至少可以得益。（最多损失0） 分别称甲，乙公司的最优策略，由唯一性又称最优纯策略。 最优纯策略存在前提： ma

5、x min aij = min max aij = v i j j i 又称(2 ，3) 为对策G=s1,s2,A的鞍点。 值V为G的值。,纯策略Nash均衡,Nash：电影美丽心灵A Beautiful Mind,Nash均衡,若策略(s1*, , sk-1*, sk*, sk+1*, , sn* ) 对任意参与人 i 和策略 k 均满足： ui (s1*, , sk-1*, sk*, sk+1*, , sn* ) ui (s1*, , sk-1*, sk, sk+1*, , sn* ) 则称(s1*, , sk-1*, sk*, sk+1*, , sn* ) 为该博弈的Nash均衡。,例1

6、：团体对抗赛 甲、乙两队开展三人制团体对抗赛，各队的阵容安排视为一种策略，各种局势下的损益值可由下面的甲的赢得矩阵所示：问两队在稳妥原则下会选择何种阵容？,解： max min aij = max 1, -3, -1=1 i j i min max aij = min 3, 1, 3 =1 j i j,故(1 ，2) 为上述对策的最优纯策略,例2：预先采购与大自然博弈 冬季消耗煤：冷 20吨 正常 15吨 暖 10吨 冬季煤价： 冷 20元 正常 15元 暖 10元 已知秋季煤价10元，问秋季应采购多少吨？,解：max min aij = max -300, -250, -200 = -200

7、 i j i min max aij = min -100, -150, -200 = -200 j i j,故(3 ，3) 为 上述对策的最 优纯策略,设矩阵对策 G =S1,S2,A 当 max min aij min max aij 时， i j j I 不存在最优纯策略。 任务转变为： 求解混合策略。,矩阵对策的混合策略,混合策略Nash均衡,例：设一个赢得矩阵如下:,例3：猜拳博弈 甲乙各出1，2，3中一个数字，两人数字之和为m，若A为 奇数，甲付给乙m；若为偶数，乙付给甲m，求最优策略。,解：max min aij = max -3, -3, -5 = -3 i j i min m

8、ax aij = min 4, 4, 6 = 4 j i j,不存在最 优纯策略,本例的最优混合策略为：,甲： X* = (0.25，0.5，0.25)T V=0 乙： Y* = (0.25，0.5，0.25)T V=0,假设矩阵对策 G = S1, S2, A 甲方赢得矩阵 A=aijmn - 若存在两行(列)，s 行(列)的各元素均优于 t 行(列)的元素，即 asjatj ，j=1,2n (ais ait ， i=1,2m ) 称甲方策略s优超于t ( s优超于t),优超原则,当局中人甲方的策略t被其它策略所优超时, 可在其赢得矩阵A中划去第t行 (同理, 当局中人乙方的策略t被其它策略

9、所优超时, 可在矩阵A中划去第t列)。 如此得到阶数较小的赢得矩阵A, 其对应的矩阵对策 G= S1, S2, A 与 G = S1, S2, A 等价, 即解相同。,被第3、4行所优超,被第3行所优超,被第 1、2 列所 优超,例 设甲方的益损值 赢得矩阵。得到：,被第1行所优超,被第1列所优超,对A4计算，用线性规划方法得到： （注意：余下的策略为3，4，1，2） 甲： X* = (0， 0， 1/15，2/15，0)T V=5 X*= (0， 0， 1/3 ， 2/3 ，0)T 乙： Y* = (1/10，1/10， 0， 0， 0)T V=5 Y*= (1/2 ， 1/2 ， 0， 0

10、， 0)T 注： 利用有超原则化简赢得矩阵时，有可能将原对策问题的解也划去一些（多解情况）； 线性规划求解时有可能是多解问题。,反应函数：分赃博弈,博弈方1和博弈方2就如何分10000元进行讨价还价。 规则： 双方同时提出自己要求的数额s1和s2, 0s1，s210000 s1+s210000，则两博弈方的要求都得到满足，即分别得s1和s2，但如果s1+s10000，则该笔钱就被没收。 问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？,反应函数,答案: 假设博弈方1选择s1，给定博弈方2的策略，博弈方1将选择Maxs1=10000-s2, 这就是博弈方1的反应

11、函数. 同理, 博弈方2对于另一人的反应函数为s2=10000-s1 解得：s1, s2为满足s1+s2=10000的任意值. 此外，如果双方判断彼此的选择是相同的，则s1=5000, s2=5000,反应函数：配比捐款,另一道题： 一个小镇上，有N个人（人数大于3），每个人有100元，如果每人都捐款一笔（每人捐款数额可以不同，并可以为零），共募集到F元。那么李嘉诚愿意再拿出F元来，最后这笔钱给他们平均分配，也就是说，他们可以每人分得2F/N元。 问：在均衡的情况下，每人愿意集资多少？,反应函数,答案: 假设捐款数量分别为s1， s2, ,sN. 给定其他人的策略，博弈方1的选择是如下的反应函

12、数： Max 2F/N-s1 = 2(s1+ s2+ +sN) /N-s1 可见，博弈方1的最佳选择是取S1=0 同理，所有人选择策略都是0. 思考：如何能够通过机制设计，来保证这种捐助的成功？,两个囚徒的选择：或者供出同伙，或者抵赖。 各种选择的后果：都抵赖：没有证据，均无罪释放 都认罪：坦白从宽，均判处轻刑； 一人招供一人抵赖： 招供方无罪释放，并有立功奖励 抵赖方判处重刑，且判处罚金,1.囚徒困境,博弈说明： 完全信息静态博弈 存在纯策略Nash均衡 可用优超求解,黄色为均衡解,延伸： (1)爱情博弈、军备竞赛、价格联盟、股市博弈 (2)有限次重复囚徒博弈的解不变 (3)无限次重复囚徒博

13、弈，结果是二人互相信任 (4)多人重复囚徒博弈：只要有一人上次背叛，即背叛,为什么麦当劳、肯德基总是开在一起？,2.位置困境,博弈说明： 完全信息动态博弈 存在子博弈精炼Nash均衡,延伸： （1）电视节目扎推现象 （2）商业中心、产业集聚 （3）政党争议为何总是趋向中间路线？,两人合作猎鹿，得鹿一头(10)平分：各得价值5； 一人猎鹿一人猎兔：前者一无所有，后者得兔一只价值3； 二人均猎兔，各得兔一只，各得价值3.,3.猎鹿博弈,博弈说明： 完全信息静态博弈 存在两个纯策略Nash均衡,黄色为均衡解,启示： (1)企业强强联合，接近于猎鹿模型的帕累托改善 (2)猎鹿模型是假设猎人双方平均分配

14、猎物，如果分配权不同，可能无法帕累托改善 (3)多人狩猎博弈，根据分配可以分成既得利益集团与弱势群体,大猪、小猪同槽，控制食物供应依靠按钮。按一次按钮有8个单位食物进槽，但需承担2个单位的成本。按者后进槽。 若二者同时按按钮同时进槽，大猪吃到5个食物，小猪3个 若小猪按按钮大猪先进槽，大猪吃7个食物，小猪吃到1个 若大猪按按钮小猪先进槽，大猪、小猪都吃到4个食物。,4.智猪博弈,博弈说明： 纯策略均衡最优策略：大猪按，小猪等待。 大猪的收益外部化，小猪不劳而获，免费搭了大猪的便车。,黄色为均衡解,延伸： (1)新产品引入时，小企业的跟随战术 (2) 一个和尚挑水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水

15、喝 (3) Scott公司 与可口可乐、百事可乐的竞争 (4) 股市上的小猪策略 (5) 改变机制，避免智猪搭便车,二人进行胆小鬼游戏，从两头冲向独木桥。 如均勇进，则两败俱伤，效用均为-2； 若均胆怯，则受到嘲笑，效用为0； 如一方勇进一方胆怯，勇进方得到欢呼，效用4， 胆怯方受到嘲笑，效用-1.,5.胆小鬼博弈,博弈说明： 两个纯策略均衡最优策略(胆怯，勇进)(勇进，胆怯) 狭路相逢勇者胜。,黄色为均衡解,延伸： (1)讨债博弈 (2)房地产开发博弈 (3)赌博：跟还是不跟 (4) 赢者通吃轮流叫价拍卖,6.海盗分金,10个海盗分100金币， 先由最凶残的海盗来提出分配方案，然后大家一人一

16、票表决，如果有50%或以上的海盗同意这个方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盗同意，那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼，然后由剩下的海盗中最凶残的那个海盗提出方案，依此类推。,动态博弈的最优策略： 96、0、1、0、1、0、1、0、1、0 先发优势很重要,先考虑只有2个海盗的情况（其他海盗已丢到海里）。记他们为P1和P2，其中P2比较凶残。P2的最佳方案当然是：他自己得100枚金币，P1得0枚。投票时他自己的一票就足够50%了。 往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道P3知道他知道如果P3的方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一枚金币也得不到。所以P3

17、知道，只要给P1一枚金币，P1就会同意他的方案。所以P3的最佳策略是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。 P4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币，自己留下98枚。 依此类推。,延伸： (1)拉拢小人物，来对抗大人物 (2)历史上的革命都是拉上贫苦大众,练习：分豆子博弈,5个囚犯，分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆，规定每人至少抓一颗，而抓得最多和最少的人将被处死，而且，他们之间不能交

18、流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活几率最大？ 提示： 1，他们都是很聪明的人 2，他们的原则是先求保命，再去多杀人 3，100颗不必都分完 4，若有重复的情况，则也算最大或最小，一并处死,十支箭与四十追兵问题,假如你是一位英雄，手中的剑已经折断，而在你后面，正有一帮坏人追杀你。幸运的事，你骑着马，而他们却没有。不幸的事，你的马已经筋疲力竭，而他们将最中会抓到你。幸好你有一把弓箭。可惜你只有十支箭。值得庆幸的事，作为一位英雄，你总是百发百中，从未失过手。糟糕的事，后面有四十个坏人，他们以一定的间隔在你身后横向排开一队，以最快的速度向前冲。他们离你很紧，已经到了射程之内。 请运用经济学的方法逃脱,7.最后通牒博弈,2个海盗分100金币： A提出分配方案，如果B同意，则以此分配；若不同意，则双方均一无所得,最优策略： 1，99 后发优势也很重要,延伸： (1)男生给女生切蛋糕 (2)找工作时要求年薪很低,在进入选美博弈后看到的第一个页面