计算机图形学课件：8 Geometrical Transformations

1、Chapter 4 Geometrical Transformations,1.Vector(矢量） 2.Matrix（矩阵）,Mathematics Preparation for transformation,（1）两个矢量之和：,矢量运算(Vector),（2）两个矢量的点积：,（3）矢量的长度：,矢量运算,（4）两个矢量的叉积：,aij是矩阵中第i行第j上的元素。,上述矩阵记为A，或AmXn，或(aij) mXn。,矩阵(matrix),Cont.,definition：,m=n时：A称为方阵 m=1时：退化为行向量(vector) n=1时：退化为列向量(vector) 时：称为A=

2、B,Cont.,单位矩阵：,零矩阵：,Cont.,矩阵加法：,矩阵加法满足的运算律： 结合律 交换律 A+0=A,Cont.,矩阵数乘,Cont.,矩阵乘法：,矩阵乘法满足的运算律： 结合律 分配律 AI=IA=A,不满足交换律！,Cont.,矩阵转置,矩阵转置运算律：,Cont.,矩阵行列式 非奇异矩阵 逆矩阵：非奇异矩阵具有逆矩阵,若把n维空间坐标叫做普通坐标,则相应的n+1维空间坐标叫做齐次坐标.,齐次坐标技术:用n+1维向量表示n维向量的技术,ordinary coordinate,homogeneous coordinate,(x，y),(hx，hy，h),其中，h是一个任意的非零标

3、量,齐次坐标(homogeneous coordinate),齐次坐标(homogeneous coordinate),则 (x，y)的齐次坐标为(x，y，1),Cont.,Representation of 2D transformations,Rotate, scale, symmetry, shear,translate,Entire scale,project,代数式,矩阵式,3D space,右手直角坐标系,X,Y,Z,Points:,Algebraic representation of 3D transformations,Matrix representation,Introd

4、uce homogeneous coordinate,0 0 0 1,变换的两种实现方法: (1)坐标系不变,图形变换;,(2)图形不变,坐标系变换.,Transformation method,4.1 2D transformations,Translate(平移) transformations Rotate(旋转) transformations Scale(缩放) transformations Reflect(反射) transformations Shear(错切) transformations Composition(复合) of 2D transformations,在二维坐

5、标系中,将点P(x,y)在x、y轴方向分别平移tx、ty，得到点P(x,y)，则P点与P点的坐标关系为：,矢量形式为：P=P+T,Translate transformations(平移变换),Cont.,用齐次坐标表示平移变换过程：,Whereas:,Translate matrix,Cont.,Translating an object: translate is an rigid-body transformation Translating every point of the object Translating the key-point of the object and re-

6、defining the object Converse transformation:,Rotate transformations(refer to origin),Cont.,则变换公式为：,Positive : anti-clockwise rotate(逆时针) Negative : clockwise rotate(顺时针),逆变换:,Cont.,Rotating an object（图元的旋转变换） 旋转变换是刚体变换 Rotating every point of object through the same angle Be rigid-body transformatio

7、ns: rotating the key-point and re-defining the object,Cont.,固定某个点的旋转变换?,Scaling transformations（1）,变换公式:,缩放变换是指对点的X，Y坐标值进行缩放。,Sx , Sy 称为缩放系数，可取任何正数; S称为缩放矩阵。,缩放变换可使物体产生重定位，如右图所示，缩放比例不同，定位距离也不同。,当缩放系数大于1时，物体被放大，否则缩小；,当SxSy时，物体发生等比变换， 否则发生差值缩放，产生变形。,Scaling transformations（2）,Scaling an object,Polygon

8、（多边形） Scaling the vertexes and then re-defining the polygon circle圆（中心对称图形） Scaling the radius Primitives defined by some parameters（给定定义参数的图形） Scaling the parameters and re-defining the primitives,相对X轴对称：,Symmetry transformations,变换公式:,对称变换是产生物体镜象的一种变换.,Cont.,相对Y轴对称:,Cont.,相对原点对称:,Cont.,相对y=x直线对称:,

9、相对y=-x直线对称:,错切变换：保持图形上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值关于该坐标值呈线性变化。 坐标保持不变的坐标轴称为倚赖轴，其它坐标轴称为方向轴。 (1)以y轴为依赖轴的错切变换(沿x方向的错切） 即y不变，x的值随y的值而线性变化,Shx=tan ,Shear transformations,Shy=tan ,(2)以x轴为依赖轴的错切变换,Cont.,Cont.,Two kinds: Shear along x axis Shear along y axis General representation of shear:,b=0 or d=0,变换合成,根据矩阵运算的性质，可

10、推出二维基本变换的如下性质： 平移变换和旋转变换具有可加性 缩放变换具有可乘性,Rotate transformation about arbitrary point,Suppose the point is then the transformation can be composed by some fundamental transformations,Cont.,Scaling about arbitrary point,Reference point: , fix up point before and after scaling,Composition of translate,

11、scale about origin, and inverse translate transformations,Cont.,Namely:,Symmetry about arbitrary line,T,R,SY,作业：关于任意直线的对称变换,直线为 y= x+b 写出 T总,Exercises,Exercise 4.1 Prove that we can transform a line by transforming its endpoints and then constructing a new line between the transformed endpoints. 通过变换后的两个端点可定义变换后的直线,Exercises,Exercise 4.2 Prove that two successive 2D rotations are additive:证明两个连续的旋转变换