数学物理方法课件：1-复变函数

1、绪论,“数学物理方法”研究物理问题中遇到的数学方程的求解方法。本课程在高等数学和普通物理学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后续的理论物理课和专业课做准备。 课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程两大部分。,1,绪论,教材与参考书： 梁昆淼，数学物理方法（第四版），高等教育出版社，2010年 斯颂乐，徐世良等数学物理方法习题解答，天津科学技术出版社，1982年 姚端正、梁家宝，数学物理方法，武汉大学出版社，1997年 姚端正，数学物理方法学习指导，科学出版社，2001年 胡嗣柱、倪光炯，数学物理方法，高等教育出版社，2002年 胡嗣柱、徐建军，数学物理方法解题指导，高等教育出版社，199

2、7年,2,第一章 复变函数,本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念。然后讨论复变函数的连 续性，重点研究解析函数。,3,1.1 复数与复数运算,（一）复数的概念,1.复数：形如 z= x+ i y 的数被称为复数，其中x , yR。x=Rez，y=Imz分别为 z 的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1,复数相等：z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1,复数共轭：复数z= x+ i y与z*= x- i y互为共轭（实部相等，虚部差一负号）,复数不能比较大小。,4,2.复数的三种表示：,复平面：由实轴(x轴) 、虚轴( y轴)按直角坐标系构成的平面( z

3、平面) ，复数z= x+ iy与复平面上点z(x,y)一一对应。复数与(x,y)平面中的矢量可以类比。,辐角主值：,注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当 且仅当模相等且辐角相差2k。,零点与无穷远点：复平面上有些个点比较特殊,比如:零点和无穷远点. (1)复数零的辐角无意义,模为0。 (2)无穷远点的模为,辐角没有意义.关于无穷远点的定义需要借助测地投影法。,6,复球面：复数平面上任意一点与复数球上(除N点外)的一点对应；当球面上的点离北极 N 越近,它所表示的复数的模越大，北极 N 点代表无穷远点。,无穷远点,3.复数的运算：,设,8,距离不等式:,对给定的复数z, 方程wn =z

4、(n为整数) 的解w 称为z 的n 次方根, 记做 或 共有n个不同的解。,例：,9,10,11,例:试将cos3j和sin3j展开为cosj 和sinj 的多项式,解：根据 e ij=cosj+i sinj，有 ei nj =cos nj+isin nj 另一方面 ei nj=(cosj+isinj)n 故有： (cosj+isinj)n =cos nj+isin nj,令 n=3，可得 cos 3j+isin 3j =(cosj+isinj)3 =cos3j+3icos2j sinj-3cosj sin2j-isin3j,两边的实部虚部分别相等，有 cos 3j =cos3j-3cosj

5、sin2j sin 3j =3cos2j sinj-sin3j,狄莫夫公式,本节作业：第6页 1（ 2，3，8 ）画出图即可； 2（3，7）； 3（2，3）。,12,（一）复变函数的定义,1.2 复变函数,若在复数平面（或球面）上存在一个点集E（复数的集合），对于E的每一点（每一个z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值w与之相对应，则称w为z的函数复变函数。z 称为w的宗量（自变量），定义域为E，记作,一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相应性质的直接推广。,13,说明：如果z的一个值对应着的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个

6、值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。,说明：复变函数=f(z)可以看作是z平面到平面上的一个映射。,14,（二）区域的概念,邻域 以z0为圆心，以任意小正数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域。,内点 z0及其邻域均属于点集E，z0叫作E的内点。,境界线 若z0及其邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点， z0为境界点，境界点的全体称为境界线。 沿境界线的正方向行走时，区域始终在左侧。,外点 z0及其邻域均不属于点集E， z0叫作E的外点。,区域,邻域,边界点,边界,15,区域：满足下列两个条件的点集,开集性：全部由内点组成；,具有连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连

7、接，且折线上的点属于该点集。,闭区域：区域连同它的边界称为闭区域。,单连通与复连通区域,单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域。,复连通区域：非单连通区域,即有洞区域。,单连通域,复连通域,16,几个典型区域：,17,1,（三）复变函数例（p7）,多项式,有理分式,根式函数,（三）复变函数例（p7）,对数函数,例：,解：,例：,解：,（四）复变函数的极限与连续,20,一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相应性质的直接推广。,连续,类似于实函数，对于复变函数亦可证明下述结论 （1）在某点连续的两函数的和、差、积、商（分母不能为0）在该点仍连

8、续。 （2）在某点连续的函数的复合函数在该点仍连续。,本节作业：第8页 2（3，6,，8）,21,（一）导数的定义及公式,1.3 导数,设函数w = f (z)是在区域 B上定义的单值函数，若在B上的某点z，极限,存在，并且与z 0的方式无关，则称函数在z点可导，此（有限的）极限叫做 f (z) 在 z 点的导数，以 或 表示。,显然，函数f (z) 必须在点z 连续，才有可能在 z 点可导.,22,讨论：1) 复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规则和公式可用于复变函数.(p9公式),23,讨论:2) 复变函数和实变函数的导数的定义，虽然形式上相

9、同，实质上却有很大的区别，这是因为实变函数x 只沿实轴逼近零，而复变函数z却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.,24,（二）柯西-黎曼条件,可导的必要条件,25,证明：,u、v在z处满足C.R.条件,u、v在z处有连续的一阶偏微商,因为u、v在z处有连续的一阶偏微商， 所以u、v 的全微分存在,(三) f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 点可导的充要条件,其中各个 i 值随z 0而趋于零，对于任意的 z= x+i y，有,26,此式z无论以什么方式趋于零，导数都存在，故， f (z) = u(x,y)+iv(x,y) 在z 点可导。

10、,（四）C.R.方程的极坐标表示,27,例：试推导极坐标下的C.R.方程,方法一：从极坐标关系出发，分别考虑z 沿径向和沿角向趋于零。,沿径向趋于零，即,沿角向趋于零，即,f(z)=u(,)+iv(,)在z 点可导须两极限相等,29,方法二：从直角坐标关系出发,根据复合函数微分法，有,本节作业： 1.第12页 习题 2.复习静电学中“电场强度与电势梯度的关系”部分（上册p280）。,31,1.4 解析函数,(一) 解析函数的定义,若函数 f(z)在点 z0 及其邻域上处处可导，称 f(z) 在 z0 点解析；若w=f(z)在区域 B上每一点都解析，称 f(z)是区域 B上的解析函数。,函数在某

11、区域上可导与解析是等价的。 若函数在点a不解析,则称点a是f(z)的奇点。,说明:下述情况之一的点z0 都是奇点: f(z)在点z0 无定义或无确定值； f(z)在点z0 不连续； f(z)在点z0 不可导； f(z)在点z0 可导,但找不到某个邻域在其内处处可导。,例：证明函数,是复平面上的解析函数，且,证明因,有连续偏导数，故在全平面上可微，又 f(z) 在全平面满足C-R 条件。故f (z) 在整个平面解析。并且,33,只有在实轴 上满足Cauchy-Riemann方程,所以 在实轴上可导. 但在任何一点的邻域,内都有不可导的点，因此， 处处不解析.,例 设 问,在何处可导? 是否解析?

12、,34,（二）解析函数的主要性质,标量函数f (x,y,z) 的梯度 (gradient) ：,矢量微分算符,电势函数的梯度：,场强等于电势的负梯度，也是电势函数的法向矢量！,35,性质1：若 f(z)= u+iv 在区域B上解析，则 u(x,y)=常数与 v(x,y)=常数的曲线正交；,两式相乘,即,证1：,因为f(z)= u+iv在区域B上解析，则其实部和虚部满足C.R.条件,因为,即,36,因此，u(x,y)=常数与 v(x,y)=常数曲线正交！,因为u和v分别是u(x,y)=常数和v(x,y)=常数的法向矢量,即,性质2、若f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和

13、函数,调和函数满足二维拉普拉斯方程的函数,共轭调和函数满足二维拉普拉斯方程， 而且满足C.R.条件的一对函数。,37,拉普拉斯（Laplace）方程,证2：,因为f(z)= u+iv在区域B上解析，则其实部和虚部满足C.R.条件,下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数,38,同理可得,由于u 和 v是由C-R条件联系着的同一个复变函数的实部与虚部，故调和函数 u 与 v 称为共轭调和函数.,39,(三)求共轭调和函数的方法,若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件， 求另一共轭调和函数。方法如下：,例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求

14、 v(x,y),方法一、曲线积分法,40,最后结果为：,(积分与路径无关),41,方法二、凑全微分显式法,方法三、不定积分法,所以,将x视为v的参数有：,v对x求偏导有：,42,由 ，知 ，即,所以,解 改用极坐标,43,所以,所以,本节作业：第16页 第2题 (1直),(4极),(6直)；第3题,44,1.5 平面标量场,（一）平面场,物理上及工程技术上常常需要研究各种各样的场，例如电磁场、声场、温度场等。若场与时间无关，则称为恒定场；若所研究的场在空间某方向上是均匀的，从而只需要在垂直于该方向的平面上研究它，这样的场便称为平面场。 比如，若电荷沿三维空间的某方向分布是均匀的，我们取此方向为

15、z轴方向，则电场和电势都与坐标z无关，这种场是平面静电场。,45,（二）平面静电场,静电场的高斯定理,1.静电场是有源无旋场，电力线不闭合，始于正电荷，终于负电荷。,静电场的环路定理,微分形式,微分形式,存在势函数u(x,y,z),所以,在没有电荷的区域u是调和函数，可用解析函数的实部或虚部表示,46,2.静电场的复势,存在解析函数, 称为静电场的复势 设u为电势, u=c1为等势线族， v=c2为电场线族。,3.通量函数v(x,y)（p16）,电通量,ds 切线之方向余弦,47,于是,这样，,即，v(x,y) 在A和B两点取值之差就是A和B两点之间穿过的电通量， v(x,y) 称为通量函数.

16、,48,例1 分析由,解：,描述的场.,49,例2. 已知平面静电场的电场线为抛物线族 求等势线。,（参数 ）,若取,非调和函数！,50,解： 解出,由此可知，v 应当只依赖于,51,52,代入二维 拉氏方程,即,亦即,积分一次,再积分一次,于是有,53,引用前节结果(p15例2)，得,等势线方程为,变换到直角坐标，令,即,得,54,：金属板 ：等势线 ：电场线,x,y,本节作业： 第20页 第3题,带电金属平板的静电场,55,1.6 多值函数 定义：对于自变数 z 的每一个值，有不止一个函数值 w与之相对应， w 便称为 z 的多值函数。 （一）根式函数 1. 多值性,n=2,3,4, 重复

17、前二值,两个单值分支,56,2. 自变数变化时函数关系的变化,从 w1(z0) 出发， 绕红线(含z=0!)， w1 w2 绕绿线(不含z=0!)， w1 w1,处理多值函数时，首先要解决的问题是自变数z与函数w 的对应关系，特别是当 z 连续变化时这种对应关系的可能变化。,57,3. 支点 对于多值函数 w=f(z)，如绕某点 z0 一周，函数值 w 不复原，而在该点各单值分支函数值相同，则称 z0 点为 f(z) 的支点。 z绕支点n圈，函数值复原，该支点称为n-1阶支点。z=0是 的一阶支点。z = 亦是其一阶支点。 因此, 为了完全确定多值函数w=f(z)的函数值w与自变数 z之间的对应关系，除了要在某一点 z 规定函数的对应值，还必须说明 z 的变化路径!,比较简单的办法是规定宗量 z 的辐角变化范围，当宗量 z的辐角限制在某个范围时，的辐角也就唯一的确定了，因而w值也就唯一地确定。,58,4. 黎曼(Riemann)面,单值分支 单值分支,59,进而将两叶面结合起来，构成函数 的黎曼面。,60,现在让我们来观察一下当z在这双叶黎曼面上变化时，函数值 w 如何