系统数学第二章.ppt

1、第二章 经典关系和模糊关系,理解关系这一概念是弄清楚本书中许多问题的关键：关系和逻辑、近似推理、公理体系、分类、图像识别以及控制等领域紧密相关。,本章首先介绍集合上的一些运算，如笛卡尔积、关系的复合、相似和等价性质等等，最后介绍关于赋值方面的内容，用来讨论得到关系元素的各种方法。,2.1 笛卡尔积,一个r元的有序序列，称为一个有序r元组，记做,常见的是2元组，即 r =2，此时称 为序偶,对于清晰集 , 其所有 r 元组 ，称为 上的笛卡尔积，记做： ，其中 。,当 时， 可表示为,例：设A=0,1, B=a,b,c，则,2.2 清晰关系,笛卡尔积 的一个子集，称为 的 r 元关系。,两个论域

2、X、Y上的笛卡尔积定义为：,我们也可以用特征函数来表示笛卡尔积，即论域元素的序偶间的相关强度，完全相关其值为 1，而无关其值为 0，即：,对于更一般的 上的关系 , 可以用特征函数描述为：,例：X=1,2,3, Y=a,b,c, 设关系R=(1,a),(1,b),(2,b),(2,c),(3,c),1,2,3,a,b,c,关系R的矢图如下：,当论域或集合有限时，我们可以用矩阵来表示这种关系，称为关系矩阵。对于上例,a b c,关系也可以定义为连续论域，例如，考虑由下式,定义的连续关系，则,x,y,2.2.1 清晰关系的运算,定义R和S为 上的两个独立关系，且分别定义零关系和全关系为关系矩阵O和

3、E,对于4阶方阵的情况：,现在定义两个清晰关系的运算如下：,并：,交：,补：,包含：,同一性：,2.2.2 清晰关系的性质,清晰关系的交换、结合、分配、对和及幂 等性质和经典集合的运算相同。并且和清晰（经典）集合一样，德.摩根定律和排中率也可用于清晰关系。,舒适的温度,某人喜欢的水果,小王喜欢的水果,桔子,西瓜,桃子,葡萄,香蕉,草莓,水果的种类,对于某人的“年轻人”,小李定义的年轻人,年龄（岁）,模糊集合的并、交、补集合a,函数是关系的一个特例,2.2.3 复合,设,即,即,从上面两个关系出发，是否能够找到一个关系,这种对关系的运算，称为复合，记做,例：,X,Y,Z,复合运算有两种常用形式：

4、 一是最大最小复合 二是最大积 复合,最大最小复合,最大积复合,例：,利用最大最小复合式，得,2.3 模糊关系,模糊关系 是笛卡尔空间 到区间0，1的映射，其映射的强度可用隶属函数（而不是特征函数）来表示。,2.3.1 模糊关系的运算,设 和 均是 上的模糊关系，则两个关系的并、交、补等运算如下：,并：,交：,补：,包含：,2.3.2 模糊关系的性质,正如与清晰关系一样，交换、结合、分配、对和及幂等性质也适合模糊关系。并且德.摩根定律也像对清晰（经典）关系一样适合模糊关系。零关系O及全关系E与集合论中的空集和全集分别类似。一般情况下，模糊关系和模糊集合一样不满足排中率。,2.3.3 笛卡尔积和

5、复合,设 ，,模糊集 之间的笛卡尔积就是一个模糊关系，,例：,设,和,模糊关系的复合,设,即,即,模糊最大最小复合：,模糊最大积复合：,应该指出，无论是清晰关系还是模糊关系的复合一般都不可逆，即,例：,考虑下列模糊关系：,应用最大最小复合方法：,应用最大积复合方法：,2.4 相似和等价关系,2.4.1 清晰等价关系,域 X 上的一个关系 R 也可以认为是从X到X的关系，如果关系R满足：,自反性：,或,对称性：,或,传递性：,或,则称R为等价关系。,2.4.2 清晰相似关系,如果上面讨论的域 X 上的关系 R 只具有自反性和对称性 ，则称 R 是相似关系。,相似关系 至多经 n-1 次复合，可以

6、复合成一个等价关系。,这里 n 是域 X 中定义 R 的集合的基数。,例：（P51）,但,经过两次复合，可将 变为一个等价关系,相似关系的五顶点图,等价关系的五顶点图,2.5 模糊的相似关系和等价关系,域 X 上的一个模糊关系 也可以认为是从X到X的关系，如果该关系满足：,自反性：,对称性：,传递性：,其中：,，则称该关系是模糊等价关系,相似关系 至多经 n-1 次复合，可以复合成一个等价关系。,这里 n 是域 X 中定义 的集合的基数。,若上面讨论的域 X 上的关系 只具有自反性和对称性 ，则称 是相似关系。,例：（P53）,但,经过4次复合可得到等价关系,2.6 赋值,与关系相关 的一个重要问题是如何得到关系中的隶属度。主要有 6 种方法： 1.笛卡尔积 2.闭形表达式 3.查表 4.知识的语言规则 5.分类 6.数字处理方面的相似性方法,2.6.1 余弦幅度,余弦幅度法是一种较为实用的确定关系隶属度的方法。设有 n 个数据样本，构成数组X,其中,这个表达式实际上来自于两个向量的点积。,当两个向量共线时（非常相似） ，其值为 1，当两个向量垂直时（非常不相似），其值为 0。,例：（P56）,在本例中，n=5, m=3,应用上面的公式，例如，对于 有,经两次复合得到等价关系,2.6.2 最大-