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1、1,第六节 极限存在准则 两个重要极限,二 两个重要极限,一 极限存在准则,三 小结,2,一、极限存在准则,1.夹逼准则,证:(略),注意:,3,例1(补充),解,由夹逼定理得,4,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,准则 设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调且 有界，则f(x)在x0的左极限存在。,5,例2(补充),证：,并求其极限,.,),(,3,3,3,的极限存在,式,重根,证明数列,n,x,n,+,+,+,=,L,6,例2(补充),并求其极限,.,),(,3,3,3,的极限存在,式,重根,证明数列,n,x,n,+,+,+,=,L,(舍去),7,【说明】,该方

2、法只有在证明了极限存在时，才能由递推公式，通过解方程的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论,如,式两端取极限后 得,从而得,矛盾,显有,8,(Cauchy)柯西极限存在准则,数列收敛的充要条件是对于任意给定的正数， 在数轴上一切具有足够大号码的点中，任意两点的距离小于给定的正数。,几何意义：,证明（略）,9,二、两个重要极限,(1),过A点,10,注,无穷小,无穷小,11,例3,解,12,例4（补充）,解：,由幂函数和三角函数构成的分式函数或三角函数的分式函数，且在同一变化过程中，分子、分母的极限均为零的类型,适用范围：,13,(2),证明思路：,单调有界准则,夹逼准则,14,注,无穷小,无穷小,无穷大,无穷大,适用范围：,主要解决 型的极限，可用恒等变换，或变量代换化为 （1+无穷小）无穷大的形式，然后利用第二重要极限求之。,15,例5,解,例6（补充）,解,例7（补充）,解：,16,三、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准

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