专题24-等比数列及其前n项和-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍(解析版)

1、1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系热点题型一 等比数列的基本运算例1、已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418。(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由。(2)由(1)有Sn1(2)n。若存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012。当n为偶数时，(2)n0.上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 0

2、12，则n11。综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k5。【提分秘籍】1对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用。2在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论。【举一反三】 设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a41，S37，则S5_。解析：显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5。答案：热点题型二 等比数列的判定与证明例2、已知数列an和bn满足：a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正

3、整数。(1)对任意实数，证明：数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论。【提分秘籍】 证明数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明q(n2，q为常数)；二是等比中项法，证明aan1an1。若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法。学.科.网【举一反三】 设数列an的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn2an3n，设bnan3，求证：数列bn是等比数列，并求an。热点题型三 等比数列的性质及其应用例3(1)在各项均为正数的等比数列an中，a31，a51，则a2a2a6a3a7()A4 B6C8 D84(2)各项均为正数的等比数列

4、an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30C26 D16解析：(1)在等比数列中，a3a7a，a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28。(2)由等比数列性质得，Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列，则(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，所以(S2n2)22(14S2n)。又S2n0，得S2n6，又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)，所以(146)2(62)(S4n14)。解得S4n30。【提分秘籍】等比数列的性质可以分为三类：通项公式的变形，等比中项的变形，前n项和公式的变形，根

5、据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口。【举一反三】 在等比数列中，已知a1aa15243，则的值为()A3 B9 C27 D81解析：设数列an的公比为q，a1aa15243，a1a15a，a83，a9。答案：B 1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1盏 B3盏 C5盏 D9盏【答案】B2【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = 1, a1 a3

6、= 3，则a4 = _.【答案】【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：，由 可得： ，代入可得，由等比数列的通项公式可得： .1.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 【答案】642.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项

7、公式为.（2）因为，所以.因此，.（3）下面分三种情况证明.若是的子集，则.若是的子集，则.若不是的子集，且不是的子集.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B.【解析】等差数列，成等比数列，故选B.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .【答案】【解析】由题意，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和.学.科.网 1（2014重庆卷）对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列 Ca2，a4，

8、a8成等比数列 Da3，a6，a9，成等比数列【答案】D【解析】因为在等比数列中an，a2n，a3n，也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列2（2014安徽卷）数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.【答案】1【解析】 因为数列an是等差数列，所以a11，a33，a55也成等差数列又 a11，a33，a55构为公比为q的等比数列，所以a11，a33，a55为常数列，故q1.3（2014广东卷）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_【答案】504（2014全国卷） 等比数列an中，a42，a55

9、，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D3【答案】C【解析】设数列an的首项为a1，公比为q，根据题意可得，解得所以ana1qn12，所以lg anlg 2(n4)lg，所以前8项的和为8lg 2(32101234)lg8lg 24lg4lg4.5（2014湖北卷） 已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由(2)当an2时，Sn2n，显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n40

10、00，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的正整数n；当an4n2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.6（2014新课标全国卷）已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.【解析】(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an，因此数列an的通项公式为an.(2)证明：由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以，即.于是1.所以.7（2014山东卷） 已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；

11、(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn8.（2014陕西卷）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值9（2014天津卷）设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_【答案】【解析】S22a11，S44a1(1)4a16，S1，S2，S4成等比数列，(2a11)2a1(4a16)，解得a1.10（2014天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数设

12、集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A.(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1，2，n.证明：若anbn，则st.【解析】(1)当q2，n3时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3，可得A0，1，2，3，4，5，6，7(2)证明：由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn11

13、0，所以s2的最小正整数，则m2，并且对任意1k2，于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm1.故dm1Am1Bm1n，且am1，即数列an有无穷多项为1 13（2013北京卷）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_【答案】22n12【解析】 a3a5q(a2a4)，4020q，q2，又a2a4a1qa1q320，a12，an2n，Sn2n12.14（2013江西卷）等比数列x，3x3，6x6，的第四项等于()A24 B0C12 D2415（2013江苏卷）在正项等比数列an中，a5，a6a73. 则满足a1a2ana1a2an的最大正整数n的值为_【

14、答案】12【解析】设an的公比为q.由a5及a5(qq2)3得q2，所以a1，所以a61，a1a2a11a1，此时a1a2a111.又a1a2a1227，a1a2a1226a1a2a12，但a1a2a1328，a1a2a132627252828，所以a1a2a13a1a2a13，故最大正整数n的值为12.16（2013湖南卷） 设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则(1)a3_；(2)S1S2S100_【解析】(1)(2)解析 (1)因Sn(1)nan，则S3a3，S4a4，解得a3.17（2013辽宁卷） 已知等比数列是递增数列，Sn是的前n项和，若a1，a3是方程x25x

15、40的两个根，则S6_【答案】63【解析】 由题意可知a1a35，a1a34.又因为an为递增的等比数列，所以a11，a34，则公比q2，所以S663.18（2013全国卷）已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列【解析】(1)由题设知3，即9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，求得x.由题设知，2 ，解得a21.所以a1，b2 .(2)证明：由(1)知，F1

16、(3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|2 ，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，从而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列19（2013全国卷）已知数列

17、an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A6(1310) B.(1310) C3(1310) D3(1310)20（2013陕西卷）设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列【解析】(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a2anna1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn1已知等比数列an的前n项和为Sn，且S1，S2a2，S3成等差数列，则数列an的公比为()A1 B2C. D3解析：因为S1，S2a2，S3成等差数列，所以2(S2a2

18、)S1S3,2(a1a2a2)a1a1a2a3，a33a2，q3。选D。学.科.网答案：D2等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35解析：由题意可知a5a6a4a7，又a5a6a4a718得a5a6a4a79，而log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)5log395log331010。答案：B3已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则()A4n1 B4n1C2n1 D2n1答案：D4在等比数列an中，Sn是它的前n项和，若a2a32a1，且a4

19、与2a7的等差中项为17，则S6()A. B16C15 D.解析：由等比数列的性质知a2a3a1a42a1，即a42。a42a721734，a7(217a4)(2172)16。q38，即q2。由a4a1q3a182，得a1，S6。答案：A5已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是()A. B.C2 D.解析：由题意可设三角形的三边分别为，a，aq，因为三角形的两边之和大于第三边，所以有aaq，即q2q10(q1)，解得1q，所以q的一个可能值是，故选D。学.科.网答案：D6正项等比数列an满足：a3a22a1，若存在am，an，使得aman16a，则的最小值为()A. B.C. D.答案：D7在等比数列an中，a12，a416，则数列an的通项公式an_，设bnlog2an，则数列bn的前n项和Sn_。解析：由题意得公比q38，q2，an22n12n。因此bnn，Sn。答案：2n8设等比数列an的前n项和为Sn，且a5S5，则S2 014_。解析：根据数列前n项和的定义知S5a1a2a3a4a5a5，故a1a2a3a40，即a1(1qq2q3)a1(1q)(1q