概率论与数理统计课件第五章大数定律及中心极限定理

1、概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,第五章 大数定律及中心极限定理,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数律的客观背景,大量抛掷硬币正面出现频率,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面先介绍大数定律,下面的大数定律将(2.1)进行了推广.,5.2 大数律,称随机变量的序列 为随机序列(random sequence).,其含义是n很大时, 与 有非零差距的可能性 很小。,则

2、称序列 依概率收敛于 . 记为,定义 2.1 设 是随机序列， 是随机变量， 如果对任意的 0，有,通常把类似于2.5的结论称为弱大数律 (weak law of large numbers).,由切比雪夫不等式得：,证明：,例1（接4.1 的例1.4 ) 在赌对子时, 甲每次下注100元. 如果他连续 下注n次, 证明他的盈利Sn满足,证明： 用Xi表示甲第i次下注的盈利, 则X1,X2, Xn独立同分布. 由4.1的例1.4知 =EXi=-18.6, Sn=X1+X2+Xn. 利用,和定理2.1得到, n 时，,P(Sn 18n) P(| | 0.6),于是，,P(Sn 18n) = 1

3、P(Sn 18n) 1.,说明下注的次数n越多, 至少输18n元的概率 越大。,类似于(2.6)的结果称为强大数律(strong law of large numbers). 从强大数律结论(2.6)知道概率的频率定义是合理的。,定理 2.3 如果 wp1. 则,强大数律结论比弱大数律结论要强:,证明：设p是任意小的正数, 事件A1, A2相互独立, P(Ai)=p. 用 IAi 表示Ai的示性函数, 则 IAi 独立同分布.由强大数律得到,所以,说明有无穷个Ai发生的概率是1.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用都是微小的.则这

4、种量一般都服从或近似服从正态分布.,该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.,中心极限定理的客观背景,5.3 中心极限定理,强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和的依概率收敛和以概率1收敛.,中心极限定理讨论对充分大的n, 随机变量序列部分和 X1+X2+ +Xn 的概率分布问题.,则Sn为n次独立试验中成功的次数,Sn B(n,p)。,时,Sn的分布形状很象正态分布。,例3: 二项分布,独立地重复某一试验，设,时,Sn的分布形状很象正态分布。,若Xj iid P( ), 则由3.4 的例4.1知道部分和,例4: Poisson(泊松)分布,例5: 几何分布部分和 设 Xj独立同分布都服从几

5、何分布,时,Sn的分布形状很象正态分布。,从演示看出 时,Sn的分布形状很象正态分布。,我们把结论(3.2)记成 , 其中的d表示依分布收敛.,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,在一般情况下很难求出n个随机变量之和 的分布函数，定理3.1表明:当n充分大时,可以通过 给出其近似的分布.,因此可以利用正态分布对 作理论分析或作实际计算.,推论3.2.,在定理3.1的条件下，对充分大的n ，部分和Sn =X1 X2 Xn, 的概率分布可以用正态分布,近似.,中心

6、极限定理的应用: 可以用N(0,1)近似计算关于 的概率， 用N(n , n 2) 近似计算关于Sn的概率。,例6: 近似计算,当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴(mr)时, 辐射会对人的健康造成伤害. 设一台彩电工作时的平均辐射强度是0.036(mr/h), 方差是0.0081. 则家庭中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害. 但是彩电销售店同时有多台彩电同时工作时, 辐射可能对人造成健康伤害. 现在有16台彩电同时工作, 问这16台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率.,例6: 近似计算,解: 用Xi表示第i台彩电的辐射量(mr/h), 则Xi的数学期望是 =0.036, 方差是 =0

7、.0081. Sn=X1+X2+ +X16是n=16台彩电的辐射量. 题目要求P(Sn 0.5). 认为Xi独立同分布时, 按照定理3.1,近似服从N(0,1)分布, 于是,例6: 近似计算(续),这16台彩电以大约58%的概率会对人造成健康伤害.,例7 一加法器同时收到20个噪声电压 ，设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，记,二项分布的正态近似,推论3.3.设Sn B(n,p), p=1-q (0,1), 则,由定理3.1结论成立,例9 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外

8、线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？,解：设有Sn部分机同时使用外线，则有,设有N条外线。,由推论3.3得,由题意有,例9 （续）,例10. 用正态分布计算二项分布,设Sn B(n,p), 则Sn近似 N(np, npq)分布, 设X N(np,npq), 设a, b为非负整数。由中心极限定理, n 较大时,但是注意Sn是取整数值的，所以,上式右端用正态近似和(*)不同。,例10.(续),为此取折衷，令,称为连续性校正。此近似公式应在 n 充分大时使用，实际规则可以用 min(np,nq)5。,例10.(续),特别地，,某药厂试制了一种新药, 声称对贫血的治疗有效率达到80%. 医药监管部门准备对100个贫血患者进行此药的疗效试验,若这100人中至少有75人用药有效, 就批准此药的生产. 如果该药的有效率确实达到 80%, 此药被批准生产的概率是多少?,解:用 Sn表示这n (=100)个患者中用药后有效的人数. 如果该药的有效率确实是 p=80