立体几何中的截面问题 专题讲义-高三数学一轮复习

1、 立体几何中的截面问题一基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：.由于共面，在底面内，过作直线，与于，显然，此时即在侧面内，又在欲求截面内，而该截面与侧面又交于点，根据公理1，截面与侧面交于.同理，过作直线与的延长线交于，此时即在侧面内，又在欲求截

2、面内，根据公理1，截面与侧面交于.在侧面内，连接交于.在侧面内，连接交于.连接.则五边形EFHGK即为所求的截面练习1.（三点两两共面）P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法解析：作法：（1）连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F.（2）连接EF交AB于T，交AD于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体中，分别为上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是

3、需要先做出一个平面来，让上面三点中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作交与，则确定一个平面，转化为例1的情形.连接,交于点；连接交延长线于；连接交延长线于；连接交于.则为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥中，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ）ABCD无法确定解析：设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，故四边形为平行四边形，所以，.因为，所以，所以四边形的周长为.故选：A.二截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论（2）直线和平面平行的判定和性质（3）两个平面平行的性质2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个

4、面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。三正方体中的基本截面类型三习题习题1.如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，求该多边形的周长.解析：如图，延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接，交于点N连接NE，FH，因为正方体的棱长为12，所以因为，所以，所以，所以，同理可得，所以，所以，所以，易知，所以，又，解得，所以，则该多边形的周长为.习题2.如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截