【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第二章 第8讲 函数与方程配套课件 理 新人教A版

1、第8讲函数与方程,考点梳理,(1)函数零点的定义 一般地，我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点 (2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_,1函数的零点,x轴,零点,(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间 _内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个_也就是f(x)0的根,f(a)f(b)0,(a，b),c,2二次函数yax2bxc(a0)零点的分布,对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(

2、x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法,3.二分法,f(a)f(b)0,一分为二,零点,一个复习指导 本讲复习时，应充分利用二次函数的图象，理顺三个“二次”的关系，进而把握函数与方程之间的关系，重点解决：(1)求函数的零点；(2)求方程解的个数；(3)根据函数零点情况求解参数的取值范围另外，函数的零点问题常结合导数来考查，难度较大,【助学微博】,零点存在性定理是函数yf(x)存在零点的充分不必要条件 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)内有零点

3、，即存在c(a，b)使f(c)0，,这个c就是方程f(x)0的根这就是零点存在性定理满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不,能说就没有零点如图，f(a)f(b)0，f(x)在区间(a，b)上存在零点，并且有两个,解析数形结合求解 答案1,考点自测,2(2013扬州调研)若函数f(x)x22a|x|4a23的零点有 且只有一个，则实数a_.,3(2013泰州学情调查)已知函数f(x)3ax2a1在区间(1,1)内存在x0，使f(x0)0，则实数a的取值范围是_,答案(log32,1),5(2012常州模拟)若函数f(x)x2axb的两个零点是 2和3，则不等式af(2x)0的解集是_,(2)

4、函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.,考向一判断函数在给定区间上零点的存在性,【例1】 (1)(2011山东卷)已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.,解析(1)令y1logax，y2bx，函数f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线ybx在x轴上的截距b满足31340.根据函数零点定理可得函数f(x)的零点在区间(2,3)内，故n2. (2)求函数f(x)3x7ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2

5、)0，f(3)2ln 3，由于ln 31，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n2. 答案(1)2(2)2,方法总结 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断,【训练1】 (1)(2010天津卷改编)函数f(x)2x3x的零点所 在的一个区间是_(填序号) (2，1)；(1,0)；(0,1)；(1,2),答案(1)(2),【例2】 (1)(2012大纲全国卷改编)已知函数yx33xc 的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.,考向二函

6、数零点个数的判断,答案(1)2或2(2)4,解析(1)f(x)3x233(x1)(x1)，则当x1或1时，f(x)取得极值f(1)0或f(1)0，即c20或c20，c2或2.,方法总结 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点,(1)若方程有两根，其中一根在区

7、间(1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围,考向三二次函数的零点分布问题,【例3】 已知关于x的二次方程x22mx2m10.,解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得,(1),(2)抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，如图(2)所示,(2),方法总结 本题重点考查方程的根的分布问题，熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解此题的关键用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的易错点,有且仅有一个零点；有两个零点且均比1大； (2)若函数

8、f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围 解(1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1. 法一设f(x)的两个零点分别为x1，x2，,【训练3】 (2012泰州高三调研)(1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.,则x1x22m，x1x23m4.,(2)令f(x)0，得|4xx2|a0， 即|4xx2|a. 令g(x)|4xx2|，h(x)a. 作出g(x)、h(x)的图象 由图象可知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图象有4个,交点，即f(x)有4个零点故a的取值范围为(4,0),利

9、用导数可判断函数图象的变化趋势及单调性，而函数的单调性往往与方程的解交汇命题因此，可借助导数这一工具来研究函数的零点问题,热点突破9 利用导数来研究函数的零点问题,(1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在(0，)内的零点个数，并加以证明 审题与转化 第一步：第(1)问需对a分类讨论，利用f(x)的正负与f(x)单调性的关系求得结果第(2)问需要经过二次求导，原因是一次求导不能判断其导数的正负，还需第二次求导，再结合零点存在定理判断函数在某个区间内零点存在情况,当x(m，)时，有g(x)g(m)0， 即f(x)0，从而f(x)在(m，)内单调递减 又f(m)0，f()0，且f(x

10、)在m，上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，)内有且仅有一个零点 综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点,反思与回顾 第三步：本题综合考查了导数法在函数的单调性、最值及函数零点的判断，要深刻体会数形结合思想在函数零点问题中的应用,答案6,高考经典题组训练,答案6,为6.,(1)求函数h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明理由 (2)设数列an(nN*)满足a1a(a0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的nN*，都有anM.,(1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点； (3)设h(x)f(f(x)c，其中c

11、2,2，求函数yh(x)的零点个数,4(2012江苏卷)若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点,解(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3. (2)由(1)知f(x)x33x.因为f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，于是函数g(x)的极值点只可能是1或2. 当x0， 故2是g(x)的极值点 当21时，g(x)0， 故1不是g(x)的极值点所以g(x)的极值点为2.,(3)令f(x)t，则h(x)f(t)c

12、.先讨论关于x的方程f(x)d根的情况，d2,2 则|d|2时，由(2)可知，f(x)2的两个不同的根为1和2，注意到f(x)是奇函数，所以f(x)2的两个不同的根为1和2. 当|d|0，f(1)df(2)d2d0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)f(2)2，此时f(x)d无实根同理，f(x)d在(，2)上无实根,当x(1,2)时，f(x)0，于是f(x)是单调增函数，又f(1)d0，yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,2)内有唯一实数根 同理，f(x)d在(2，1)内有唯一实根 当x(1,1)时，f(x)0，f(1)d0， yf(x)d的图象不间断，所以f(x)d在(1,1)内有唯一实根 由上可知：当|d|2时，f(x)d有两个不同的根x1，x2满足|x1|1，|x2|2；,当|d|2时，f(x)d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|2，i3,4,5. 现考虑函数yh(x)的零点 ()当|c|2