浙江专版2019版高考数学一轮复习第十一章计数原理11.1排列组合课件.pptx

1、第十一章 计数原理11.1 排列、组合,高考数学,考点排列、组合 1.分类计数原理、分步计数原理 (1)完成一件事有n类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是分类计数原理. (2)完成一件事,需要分成n个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积,这就是分步计数原理. 2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相,知识清单,互依存,只有

2、各个步骤都完成了,这件事才算完成了. 3.排列 (1)定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示. (3)排列数公式:=n(n-1)(n-m+1). (4)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列,=n(n-1)(n-2)321=n!.于是排列数公式写成阶乘形式为 =.规定0!=1.,4.组合 (1)定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m

3、个元素的一个组合. (2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示. (3)计算公式:=.由于0!=1,所 以=1. 5.组合数的性质 (1)=;(2)=+.,个基本原理的应用的解题策略 如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,则选用分类加法计数原理,即类与类之间是相互独立的,即“分类完成”.如果只有各个步骤都做完,这件事才能完成,则选用分步乘法计数原理,即步与步之间是相互依存的、连续的,即“分步完成”. 无论分类加法计数原理,还是分步乘法计数原理,都要选择合理的分类、分步标准,确保不重不漏. 例1用三种不同

4、的颜色,将如图所示的四个区域涂色,每种颜色至少用1次,则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为(用数字作答).,方法技巧,解析依题意知有两个区域涂同一种颜色,另两个区域涂另两种颜色. 当涂同一种颜色的两个区域相邻时,有3=18种涂法; 当涂同一种颜色的两个区域不相邻时,有3=18种涂法. 故相邻的区域不涂同一种颜色的概率为.,答案,排列、组合及其应用的解题策略 求解排列、组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘”. 1.简单问题直接法:把符合条件的排列数或组合数直接列式计算. 2.相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再

5、考虑它们“内部”的排列.它主要用于解决相邻和不相邻问题. 3.相间问题插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空中,它与捆绑法有同等作用. 4.多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类(每一类的排列数较易求出),然后根据分类加法计数原理求出排列总数.,5.至少至多间接法:“至少”“至多”的排列、组合问题需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法.它适用于反面明确且易于计算的问题. 6.均分问题作商法:平均分组问题,若将m个元素平均分成n组,则分法总数为. 例24名男生和5名女生站成一排. (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)甲、乙两人必须站

6、在两端的站法有多少种? (3)男、女分别排在一起的站法有多少种? (4)男、女相间的站法有多少种? (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种?,解题导引 (1)特殊元素优先法或考虑位置或排除法结果 (2)特殊元素优先法结果 (3)捆绑法结果 (4)插空法结果 (5)方程思想结果,解析(1)解法一(特殊优先):先排甲有6种,再排其余的人有种,共有站 法6=241 920(种). 解法二(考虑位置):先排中间和两端的位置有种,再排其余位置有 种,共有站法=241 920(种). 解法三(排除法):-3=241 920(种). (2)(特殊优先)先排甲、乙有种,再排其余的人有种, 共有=1

7、0 080(种). (3)(捆绑法)男、女分别捆绑成两组有种排法,男、女在本组内分别各 有及种排法,故不同的站法数为=5 760(种). (4)(插空法)先排4名男生有种方法,再将5名女生插空,有种方法,所 以共有=2 880种站法.,(5)(方程思想)设甲、乙、丙三人顺序一定的站法有x种,则x=,x= =60 480(种).,评析在解决排列、组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概念,能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题,牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.,例3(2017浙江吴越联盟测试,13)2 016是这样一个四位数,其各个数位上的数字之和

8、为9,则各个数位上的数字不同且其和为9的四位数共有个.,解题导引 对各数位上的数字是否含0进行讨论把四个不同数字之和为9 的组合列出来用排列和分步计数原理得结论,解析对构成满足条件的四位数各数位上的数字是否含0进行分类讨论.若不含0,则有1+2+3+4=109,不成立;若含0,则9可以改写为9=0+1+2+6=0+1+3+5=0+2+3+4,此时满足条件的四位数共有33=54个.,答案54,评析本题考查分步计数原理,多元问题分类法,考查推理运算能力和分类讨论思想.,例4(2017浙江金华十校联考(4月卷),7)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为() A.50B.80 C.120 D.140,B,解题导引 对“至少”问题进行分类讨论用分步计数原理计算每 种情况的分配方案用分类计数原理得结论,解析分两种情况讨论,若甲组2人,则有种方法,此时将剩余的3人分 给乙、丙两组,有种方法,共有种方法;若甲组3人,则有 种方法,此时将剩余的2人分给乙、丙两组,有种方法,共有种方 法.因此不同的分配方案的种数为+=80,故选B.,例5(2017浙江镇海中学模拟卷(五),7)4本不同的书全部分给甲、乙两人,每人至少一本,则不同的分法有() A.10种 B.14种C.16种D.20种,解题导