【精品】2011高考数学一轮 第二章函数的奇偶性与单调性学案课件3 新人教A版

1、进 入,学案3 函数的奇偶性与周期性,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.函数的奇偶性 定义设y=f(x),xA,如果对于任意xA，都有 ，则称函数y=f(x)为偶函数； 如果对任意xA，都有 ，则称函数y=f(x)为奇函数，如果函数y=f(x)是偶函数或奇函数，则称函数y=f(x)具有 性质.,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),奇偶性,（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义 . （2）函数y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象 ； 函数y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象 . 2.函数的周期性 设函数y=f(x),xD ，如果存在非零常数T ，使得对任何xD,都有 ，则称函数

2、 f(x) 为周期函数，T为 y= f(x) 的一个周期，如果函数 y=f(x) 是周期函数，则称函数y=f(x)具有 .,f(x+T)=f(x),周期性,关于原点对称,关于y轴对称,关于原点对称,返回目录,【例1】判断下列函数的奇偶性：,【分析】主要考查奇偶函数的定义及判别方法.,考点一 判断函数的奇偶性,返回目录,【解析】（1）x2-10且1-x20, x=1，即f(x)的定义域是-1,1. 又f(1)=0,f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)， 故f(x)既是奇函数又是偶函数.,（2）易知f(x)的定义域为R， f(x)是奇函数.,返回目录,（3）当x0，则 f

3、(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x0时,-x0，得x2. f(x)的定义域x|x2关于原点不对称，故f(x)既 不是奇函数也不是偶函数.,返回目录,【评析】确定函数的奇偶性，一般先考虑函数的定义域是否关于原点对称 ，然后判断 f(-x)与 f(x)的关系，常用的方法有： 利用函数奇偶性定义判断 ； 用求和 (差) 法判断，即看f(x)f(-x)与0的关系;用求商法判断，即看 与1的关系.如第(2)小题， f(-x)=-f(x).,返回目录,设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,xR.讨论f(x)的奇偶性.,对应演练,当a=0时，f(x)=x2+|x|+1.有f

4、(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 当a0时，令x=a，则f(a)=a2+1, f(-a)=a2+2|a|+1. f(a)f(-a)且f(-a)-f(a). f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.,返回目录,【例2】（1）设f(x)=1+a1x+a2x3+anx2n-1,其中a1,a2 ,an是常数,nN*，已知f(1 000)=2 007,求f(-1 000)； （2）已知函数f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)=x(1-x). 求当x0时，f(x)的表达式.,【分析】（1）中f(x)本身既不是奇函数，又不是偶函数，但f(x)-1为奇函数，故可利用这一性质进行求解.（2）中由于f(x)是

5、偶函数，且已给出了(0，+)上 f(x) 的解析式，故要求(-，0)上的f(x)的解析式，只需通过 x 与-x进行转化区间，再利用奇偶性即可.,考点二 函数奇偶性的应用,返回目录,【解析】（1）设F(x)= f(x)-1,显然F(x)为奇函数 ，故 有 F(-1 000)=-F(1 000)=-f(1 000)-1=1-f(1 000). 又F(-1 000)=f(-1 000)-1, f(-1 000)=2-2 007=-2 005. （2）当x0, f(x)=f(-x)=(-x)1-(-x)=-x(1+x), f(x)=-（x+ ）2 + (x0).,【评析】 当函数 f(x) 本身既不是

6、奇函数 ，又不是 偶 函数，但其中局部却是奇函数或偶函数时，仍然可利用函数的奇偶性来处理.,返回目录,已知函数y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域为-,，且它们在x0,上的图象如图所示，则不等式 的解集是 .,对应演练,返回目录,( f(x)0 f(x)0, 再由y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，作出f(x),g(x)在-,上的完整图象，观察可得答案.),（ ,0）（ ,）,或,返回目录,【例3】已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数； （2）若f(x)为奇函数，且当0 x1时，f(x)= x，求使 f(x)

7、= - 的所有x.,【分析】（1）由题知观察一个可能的数为 T ，加以验证，是否恒有f(x+T)=f(x)成立，若成立则T为周期. （2）用奇函数定义求出f(x)在一个周期上的表达式，求出这个周期上方程的解，再用周期性扩充到整个定义域上.,考点三 函数的周期性,返回目录,【解析】（1）证明：f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x). f(x)是以4为周期的周期函数. （2）当0 x1时，f(x)= x. 设-1x0，则0-x1,f(-x)= (-x)= - x， 即-f(x)= - x.f(x)= x. 故f(x)= x(-1x1). 又设1x3,则-1x

8、-21. f(x-2)= (x-2). 又知f(x-2)= -f(2-x)= -f2+(-x)= -f(-x)=-f(x)，,返回目录,-f(x)= (x-2),f(x)=- (x-2) (1x3), x (-1x1), - (x-2) (1x3). 由上式知在-1,3)上，仅有f(-1)= - ，由f(x)是周期函数，得f(x)= - 的所有x=4n-1(nZ).,f(x)=,返回目录,【评析】本题可根据条件画出函数图象： 从图2-3-2可看出f(x)= - 的x的值为x=4n-1(nZ).,返回目录,已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称.（1）求f(0)的值；

9、 （2）证明f(x)是周期函数； （3）若f(x)=x(0x1)，求xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.,对应演练,（1）函数f(x)是定义域为R的奇函数， f(-x)=-f(x), f(0)=-f(0)， f(0)=0.,返回目录,（2）证明：f(x)关于x=1对称， f(1+x)=f(1-x), f(x)=f(2-x)， f(x+4)=f2-(4+x)=f(-2-x)=-f（2+x）=-f2-(2+x) =-f(-x)=f(x), T=4,函数是以4为周期的周期函数.,返回目录,（3）由题意有 x （-1x1） -x+2 （1x3）, x-4k 4k-1x4k+1(kZ) -x+2+4k 4k+1x4k+3(kZ). 图象如下图.,f(x)=,f(x)=,返回目录,1.深刻理解奇（偶）函数的定义 .当x是定义域内任一数值时,-x也必须在定义域内.因此,判断函数的奇偶性,首先看定义域是