导数与其应用复习小结.ppt

1、,第一章 导数及其应用,复习与小结,微积分,导数,定积分,导数概念,导数运算,导数应用,函数的瞬时变化率,运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,基本初等函数求导,导数的四则运算法则,简单复合函数的导数,函数单调性研究,函数的极值、最值,曲线的切线,变速运动的速度,面积,功,积分定义的含义,微积分基本定理的含义,微积分基本定理的应用,路程,定积分概念,微积分基 本定理,最优化问题,知识结构,函数的平均变化率,函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:,函数的瞬时变化率,导数,变化率与导数,基本初等函数的求导公式,导数的运算法则,法则1:两个函数的与(差)的导数,等于

2、这两个函数的导数的 与(差),即:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:,法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,（1)如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；,（2)如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x）在这个区

3、间(a,b)内单调递减。,一般地，函数yf（x）在某个区间(a,b)内,函数的单调性,f (x)0,f (x)0,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,（2)如果a是f(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.,函数的极值,（1)如果b是f(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f(x)0，在b右侧附近f(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值,注：导数等于零的点不一定是极值点,在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值与最小值.,函数的最值,复合函数的导数,注:y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数

4、的乘积.,复合函数y=f(g(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:,或,返回,过p(x0,y0)的切线,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)取近似求与:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积 f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的与作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度x,定积分的定义,如果当n时，S 的无限接近某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a, b

5、上的定积分，记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割-近似代替-求与-取极限得到解决.,积分下限,积分上限,说明： (1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，,定积分的几何意义,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,=-S,定积分的基本性质,性质1.,性质2.,性质3.,牛顿莱布尼茨公式,定理 （微积分基本定理）,如果f(x)是区间a,b上的连续函数, 并且F(x)=f(x),则,微积分常用积分公式,由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：,（1）画草图，求出曲线的交点坐标,（3）确定被积函数及积分区间,（4）计算定积分，求出面积,（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积,定积分在几何中的应用,(1)匀变速运动的路程公式. 做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度 函数v=v(t) (v(t)0)在时间区间a,b上的定积分， 即 (2)变力作功公式 一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相