第4章-电路定理

1、第四章电路定理本章作业n 4-2n 4-4(2)n 4-7n 4-12（a）T（c）Nn 4-17本章目录n 4-1 叠加定理n 4-2 替代定理n 4-3 戴维南定理和诺顿定理n 4-4最大功率传递定理n 4-5 特勒根定理n 4-6 互易定理n 4-7 对偶原理本章要求n 重点1. 叠加原理及应用2. 戴诺定理的熟练掌握3. 最大功率传递n 难点1. 含受控源电路的分析2. 特勒根定理及互易定理的应用*4-1 叠加定理superposition theorem齐次定理homogeneity theorem一、几个概念1. 线性电路(linearity circuit) ：2. 线性(lin

2、arity)n 齐次性（homogeneity）n 相加性(additivity)3. 激励（excitation）与响应(response) ：二、叠加定理 (superpositiontheorem)1.叠加定理：在任何线性电路中，任何元件的电流或电压都可以看成是各个独立源单独作用时，所产生的电流或电压的代数和。I1I2I1I2I1I2+R1R2+=+R1R2+R1R2+E1I3R3E2E1I3R3R3I3E2(a)原电路(b)(c)E2单独作用E1 单独作用 例1求电压U. 解12V电源作用：U (1)= - 12 3 =96W3W2W+12V3A8W+U-4V3A电源作用：U (2)=

3、 (6 /3) 3 = 6VU = -4 + 6 = 2V画出分电路图6W3W2W3A8W12V8W6W+3W2W+U(1)U(2） 例2求电流源的电压和发出的功率10V2W2Au3W3W10V电源作用： u(1)= ( 3 -52 ) 10 = 2V 52W2A电源作用：u( 2) =2 3 2 2 =54.8 V为两个简u = 6.8VP = 6.8 2= 13.6W单电路画出分电路图10V2WU（1）3W2W2W2AU（2）3W2W3W3W 例3计算电压u。u3A3W3A电流源作用：6Wu(1)= (6 /3 +1) 3 = 9V1W2A6V其余电源作用：12Vi(2)= (6 +12)

4、 /(6 + 3) = 2Au = u(1)+ u( 2)= 9 + 8 = 17Vu( 2)= 6i( 2)- 6 +2 1 = 8Vi (2)6W3Wu (2）3A （1）u3W1W画出分电路图 6W-1W 6V12V2A说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用， 也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。iV2W1W 5A2iu 例4计算电压u电流i。10V电源作用：10i(1)= (10 - 2i(1) ) /(2 + 1)i(1)= 2Au(1)= 1 i(1)+ 2i(1)= 3i(1)= 6V5A电源作用：2i(2)+ 1(5 +i(2) ) +2i(2) =

5、 0i (2)= -1Au(2)= -2i(2)= -2(-1) = 2V受控源始u = 6 + 2 = 8Vi = 2 +(-1)= 1A终保留画出分i（1）2W1W1W2W5A电路图10V(1)2iu（1）i (2)(2)2iu(2)线性无源网络SU+例题5：IS已知：US =1V、IS=1A 时， Uo=0V+US =10 V、IS=0A 时，Uo=1VUo求：-US = 0 V、IS=10A 时， Uo=?n 解：分电析路：中有所两求个的电电源压作u用可，以根看据叠作加是原所理有可激设U= K U+ KI O励产生o的响1 应S ，根2 据S叠加原理可知，响应与所有激励之间为一次线性函

6、数关系。3. 例题5：Uo = K1US + K2 IS线性无源网络SU+ISUo-已知：US =1V、IS=1A 时， Uo=0V US =10 V、IS=0A 时，Uo=1V求：US = 0 V、IS=10A 时， Uo=?当 US = 1V 、IS=1A时， 得 0 = K1 1 + K2 1当 US =10 V、IS=0A 时， 得 1 = K1 10+K2 0联立两式解得： K1 = 0.1、K2 = 0.1所以 Uo = K1US + K2 IS= 0.1 0 +( 0.1 ) 10= 1V2.定理说明适用范围：线性电路。某个独立源单独作用=其它独立电源不作用(置零)：电压源短路；

7、电流源开路。代数和：分量的参考方向最后叠加时要考虑和原量是否一致, 相反时，叠加时相应项前要带负号。功率不能叠加。P= I 2 R= (I + I )2 R I2 R+ I 2 R11111111112.定理说明无源元件结构不变。受控源同R一样保留在电路中，控制量在原来的位置标注。应用叠加原理时可把电源分组求解 ， 即每个分电路中的电源个数可以多于一个。课堂作业： 求UX。6V+I5A+2WUX4W-UX23.例题1 ： 求UX。n 电流源单独作用：电压源短路。W+5A2WUX4- U X 2421+ 1xU5 - = 2xU(a)3.例题1 ： 求UX。n 电压源单独作用：电流源开路。x=

8、-Un1UU 6 = x214)U n1 -14+12(6V+2WUX4WU X2-+(b)响应与激励之间为一次线性函数关系！三、齐次定理theorem)(homogeneity1.齐次定理：在任何线性电阻、线性受控源及独立源组成的电路中，当所有的激励都同时增大或缩小K倍，响应也将同样增大或缩小K倍。I1若 E1增加 n 倍，各R1+R2E1I2R2I3电流也会增加 n 倍。-齐性原理（homogeneityproperty)主要分析梯形电路特别有效。RL=2WR1=1 WR2=1 Wus=51V求电流 i 。+ 8V + 21VR121AR2+R18AR1 3Ai2A RLi =1A+ 3V

9、+us+us=34V13A R22VR25A 解采用倒推法：设i=1A。us则i= us i即i = ususi =51 1 = 1.5A34（置换定理）4-2 替 代 定 理Substitution theorem4. 2替代定理 (Substitution Theorem)对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的 独立电流源，或用一个R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。支路 kik+uk+ukikik+ukR=uk/ik原因替代前后KCL,KVL关系相同，

10、其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路 电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其 余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路2W ？10V5V？ +5Vuk也不变(KVL)。2.5A1A5W1.5A 注：1. 替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。无电压源回路；2. 替代后电路必须有唯一解无电流源节点(含广义节点)。3. 替代后其余支路及参数不能改变。n 与理想电压源并联的元件的处理：aE+-aIsbE+-b与理想电压源并联的元件可去掉来列KVL方程。+-RObaEn 与理想电流源串联的元件的处理：aa+E-bI

11、sIsabIs与理想电流源串联的元件可去掉R来列KCL方程。b 例1试求i1。 解用替代：3W6W+I15W1W6W4W+4W7VI14A2W6V3V7V4A2WI= 7 + 2 4 = 15 = 2.5 A162 + 46解 例2已知:uab=0,求电阻R。C用替代：I3W 3V用结点法：I18W2W+20Vb1AIRR4W4a42对a点 ( 1 + 1)u- 1 20 = 1a2R = 12 = 6WuR = uC - ub = 20 - 8 = 12Vua= ub= 8VIR = I1 + 1 = 2AThevenin theorem4-3 戴维南定理诺顿定理Norton theorem

12、1、定理内容外电路NS11外Req电+路1(a)NS1+uoc-1(c)uoc-1(b)N011(d)Req 例10WIa10W+a2A1A5W+20V+U0C10VU0Cba+Req5W+b(1) 求开路电压UocUoc15V-b(2) 求等效电阻Req2、定理的证明1i(t)外电路2u(t)_Ns+_1i(t)替代定理叠加iS (t) 定理i(t) = i(t)Nsu(t)S2u(t) = uoc+ uN(t)0= uoc + Req i(t)i(t)+UN0_iS(t)ReqNSioc=0+NOuOC_2、定理的证明Ns外电路u(t)_1i(t)u(t)= uoc+ uN0(t)+_=

13、uoc+ Reqi(t)2+i(t)u(t)_外电路网络 N1Req+uoc_例1已知：R1=20 W、 R2=30 W 、R3=30 W、R4=20 W、E=10V求：1）当 RL=10 W 时，I=? 2）当 RL=50 W 时，I=?4、例题US（a）这类问题只关系某一条支路的响应， 我们将不变的部分化简成最简形式当RL变化时，要求I的值每次都须列方程求解一次；如果用前面的“支路法”、“回路法或“节点法”计算负载电阻上电流较麻烦。+R1cR3ab_R2dR4IRL戴维南模型或诺” 顿模型。首先将响应所求支路去掉形成NS一端口。步骤一：求UOC。+R1cUocR=-3= Uab= Uac+

14、UcbUSaUsbR+ RR1 +UsRR+ R3_R2dR4+Uoc-12= UR1R412s (R+ R= 2V34- R2 R3)(R3 + R4 )开路电压步骤二：求Req+US_cR1RabR2dR4R1R331）将NS化成NO：将所有US、IS置零。 12343412R2R4Req= R1 /R2 + R3 / R4eqR= R R (R+ R ) + R R (R+ R )无源等效电阻= 24W(R1+ R2 )(R3+ R4 )步骤三：画出戴维南等效电路。+UOC ReqRL= 10W 时：IRLI =2=24 +100.059 ARL=50W 时：UI =2= 0.027 A

15、I = oc24 + 50R0 + RL3、定理的说明1）Req 的求法：法一：定义法(NsN0 )纯R串、并联、Y-r含受控源加源法法二：开路短路法在Ns中求UOC 、IscReq= UOC /Isc3、定理的说明2)非线性电路也可应用：将其中的线性部分作T等效变换。3)受控源的处理：同R，保留且原位标出控制量。例2用戴维南定理求：U=?DC4 W50W+4 W+A10VRLU8V _E33 W5 WB1A第一步：求开端电压U0C；DC4 W50W+4 W_+10VA+U0C8V _E5 W1AB-U0= UAC + UCD + UDE + UEB= 10 + 0 + 4 - 5 = 9 V

16、第二步：求输入电阻 Req。DC50W4 W_+A010VU50W4W8V+4 W_5 W4W5WEBR1A0= 50 + 4/4 + 5先将NS变成N0：= 57 W第三步：画出等效电路R057W+E_9V33W第四步：求解未知电压=U957 + 33 33= 3.3 V例3求下图的戴维南模型。ic5W0.75ic20W+ 40V -6W6I+Ia3W9VUoc+ 例4方法1：加源法-求端口电压电流比Req求U0 。a+ 解(1) 求开路电压Uoc+3WU0Uoc=6I+3I I=9/9=1AUoc=9Vb(2) 求等效电阻Req3W+U0-UocbIa6W6I+I0U0=6I+3I=9I+

17、3WUI=I06/(6+3)=(2/3)I0独立源置零bU0 =9 (2/3)I0=6I0Req = U0 /I0=6 W 方法2：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6W6I+aI+I16 I1 +3I=9I=-6I/3=-2II=03W9VIscIsc=I1=9/6=1.5A独立源保留Req = Uoc / Isc =9/1.5=6 Wba(3) 等效电路+0=36 + 3 9 = 3VReq+U-0UocU9V3W6Wb计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。 例5. 解求负载RL消耗的功率。50W4I1a+50W100WI1RL(1)

18、 求开路电压Uoc40V5W50V+b50W40V4I1100W+50W100I1 + 200I1 + 100I1 = 40 I1 = 0.1AaI1+Uocb50W+50W+Uocb50W+ 200I1 a50W+I1100W40VIscaIscUoc = 100I1 = 10V(2) 求等效电阻Req用开路电压、短路电流法40Vsc= 10 / 0.4 = 25WI= UoceqRbIsc = 40 / 100 = 0.4A3025 + 5= Uoc + 50 = 60 = 2ALIaLLP= 5I 2 = 5 4 = 20WIL25WReq5W10VUoc50Vb诺顿定理1、定理内容is

19、cReq1外电路外电路NS111(a)NS1外电路短路电流(b)1N0等效isc电阻N0Req1(c)1(d)2、例题1：求N等效电路。+ V0.75ic20Wic5W40步骤一：求ISC；+ V20W0.75ic ic5W40IscIsc= ic+ 0.75ic= 1.75ic= 1.75 405= 14 A20W0.75i ic5Wi+Reqc= u =步骤二：求Req；i- icu+ u 20+ 0.75icuu =-5i- 5ic c- ic-+ - 5ic20+ 0.75ic=-1- 5120 - 0.75= 1.78W步骤三：画出N等效电路。ReqISCIsc= 14 AReq=1

20、.78W例2用 N等效电路求I+2.25k12_1kI 将 独立源置零2k2.25kRo1k3k这一部分可能会遇到复杂电路，就可以用网孔法或节点法来解决2mA(a)求Is3k(b)Ro= 2.25 +1/ 3 = 3kW2.25k用叠加定理求Is:+_12 3k2.25k1k2mA(c)IscI =1k3k(e)122mA1Isc= 1mA+2.25ksc3 +2.25 /11+ 2.25_12I sc= -2mA1kIsc3kIsc= I sc +I sc= -2 +1(d)= -1mA电路等效为： I3k2k-1mAI = -133 + 2= -0.6mA (f)4-4 最大功率传输1、内

21、容+RoiUocRL_由线性单口网络传递给可变负载RL的功率为最大的条件： RL=R0。) = iRL= (22Pmax=4RR+ RUocUocooL2P(RL)RLP = RL ( Ruoc)2PP max0+ Req对P求导：(RL+ R)2 - 2R(RRL+ R)uP=2eq ocL(ReqLeq4+ RL )L= 0RL= Req最大功率匹配条件eq4R2u oc=maxP2、说明1) 适用于电源（或信号）的内阻R0一定， 而负载RL变化的情况；2) 如果负载RL一定，而内阻R0可变的话， 内阻越小，负载获得的功率越大，当内阻为零时，负载获得的功率最大。四、 关于这两个定理的说明1

22、. 十分重要，常常简化复杂电路，即将不需要进行研究的有源二端网络用戴维南或诺顿等效来代替，以利于分析计算。2. 如果外电路为非线性电路，定理仍然适用。四、 关于这两个定理的说明3. 并非任何线性含源一端口网络都有戴维南或诺顿等效电路。如只能等效为一个理想电压源或理想电流源，那么它就只具有其中一种等效电路。 四、 关于这两个定理的说明4. 受控源电路：外电路不能含有控制量在一端口网络NS之中的受控源，但是控制量可以为端口电压或电流。 例RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。a2AI110WI2+URURUoc2020V20W+b(1) 求开路电压UocRLI1 = I2= UR20I1 +

23、 I2= 2AI1 = I2= 1A(2) 求等效电阻ReqUoc= 210 +10WI120I2I2+ 20 =a+U60VII1 = I2= I2 UR+UU = 10I + 20 I/ 2 =20I2020WURReq=I= 20Wb(3) 由最大功率传输定理得:RL=Req= 20W时其上可获得最大功率Pmax2U= oc=4Req6024 20= 45W4-5 特勒根定理Tellegens Theorem一、特勒根定理1（功率平衡定理）1、内容对于一个具有n个结点b条支路的电路，假设各支路上的uk、ik都取关联方向，则：bukik= 0k =1b Pkk =1= 0(吸收功率)特勒根

24、定理1（功率平衡定理）一、2、定理的证明基尔霍夫定律3、意义在任意网络N中，在任意瞬时t，各个支路吸收的功率的代数和恒等于零。也就是说，该定理实质上是功率守恒的具体体现。理）一、特勒根定理2（拟功率平衡定1、内容对于两个具有n个结点b条支路的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路组成。假设图1的uk、ik和图2的 都取关联方向，则：uk 、ikbbik =1uk ik= 0uk = 0kk =1特勒根定理2（拟功率平衡定理）二、2、定理的证明 同前3、意义 -实质上是拟功率守恒的具体体现当R1=1.4，R2=0.8时，求：U S= 9V , I1 = 3A,求U 2 = ?例1：已知：R1

25、=R2=2时，US=8V，I1=2A，U2=2V；i1R1+i2-US1U-R22NR1而其中的NR：+S uR iRU2= S(iRR)iRbiR-= S i(RiR )= S iR uRbk =1k =1uk ik= 0uk = 0u1 i1+ u2 i2= u1 i1 + u2 i2kbbuk ikk =1=uk ikk =1当R1=1.4，R2=0.8时，求：US= 9V , i1 = 3A,求u2 = ?例1：已知：R1=R2=2时，US=8V，i1=2A，u2=2V；+-US1u1i1R1i2而其中的NR：R22NR+S uR iRRu2= S(iRR)iRi1 =2A,i2= u

26、2R2= 1A-= S i(RiR )= S iR uRu1 =-U S+ i1R1= -8 +2 2 =-4Vu1 i1 + u2 i2 = u1 i1 + u2 i2u2R22uu2 = 2Vi1 = 3A, i2 =2 0.8A1u= -9 + 31.4 =4.8 V?u2 = 1.6V12 例2.+UI2U 1U 2P2WP1+U2I1+已知： U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1AU 1 = 2 I 1U1 I 1 + U2 (- I 2 ) = U 1 (- I1 ) + U 2 I2 解U 2 = 10V求U 1 . UU112= U 1(- I) + U 2 I1

27、2U 1= 1V.210 U 1= U (-5) + 10 11 应用特勒根定理需注意：（1） 电路中的支路电压必须满足KVL;（2） 电路中的支路电流必须满足KCL;（3） 电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；（否则公式中加负号）（4） 定理的正确性与元件的特征全然无关。4. 6 互易定理(ReciprocityTheorem)4.6 互易定理 (ReciprocityTheorem)互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互 易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后， 同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易 网络，互易定理是对电路的这种性质所进行

28、的概括，它广泛 的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。 1. 互易定理对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源， 一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。 激励 电压源 响应 电流uSSi2=i1u或2uS i1 = uS i一、定理的形式一ii122NN1i 1i221+us_+us_1212i=i当uS = uS时，12 证明:由特勒根定理： uk i k= 0k =1bb和 uk ik= 0k =1bb即： uk i k k =1= u1i 1 + u2i 2 + uk i k k =3b= u1i 1 + u2i 2 +k =3Rk ik i k= 0