高三数学教案圆锥曲线中的最值和范围问题

1、专题 14圆锥曲线中的最值和范围问题 高考在考什么【考题回放】1已知双曲线x 2y 21(a0,b0)的右焦点为 f ，若过点 f 且倾斜角为 60的直a2b2(c )线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是a.( 1,2)b. (1,2)c. 2,)d.(2,+)x2y21的右支上一点，2222 p 是双曲线m、 y 4 和( x5)916n 分别是圆 (x 5) y2 1 上的点，则 |pm| |pn |的最大值为（b）a. 6b.7c.8d.93抛物线 y= -x2 上的点到直线4x+3y-8=0 距离的最小值是 ( a )a 4b 7c 8d 33554已知双曲线

2、x2y21,(a0, b0) 的左、右焦点分别为f12，点 p在双a2b2、 f曲线的右支上，且|pf1|=4|pf2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（b ）(a)4(b) 5(c) 2(d) 73y2=4x, 过点335 已知抛物线p(4,0)的直线与抛物线相交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点，则22的最小值是32.y1 +y26设椭圆方程为x 2y 21，过点 m（ 0， 1）的直线 l 交椭圆于点a、 b， o 是4坐标原点，点 p 满足 op1 ( oaob) ，点 n 的坐标为 (1 , 1 ) ，当 l 绕点 m 旋转时，222求（ 1）动点 p 的轨迹方程；（ 2）

3、 | np |的最小值与最大值 .【专家解答 】（ 1）法 1：直线 l 过点 m（ 0，1）设其斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx+ 1.记 a(x1,y1),b( x2,y2)，由题设可得点a、 b 的坐标(x1,y1)、 (x2,y2)是方程组ykx1x 2y21的解 . 将代入并化简得(4+ k2 )x2+2kx-3=0，4x1x22k,42所以k8y1y22 .4k1x1x2y1y2( 4k, 44).于是 op2 (oaob)(2,2)k 2k2设点 p 的坐标为 (x,y),则第1页共10页xk,4k2消去参数 k 得 4x2+y2-y=04y4k 2 .当 k 不存在时，

4、a、b 中点为坐标原点（0， 0），也满足方程，所以点 p 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0解法二：设点p 的坐标为 (x,y)，因 a(x1,y1),b(x2,y2)在椭圆上，所以x12y121, x22y221.41 ( y124 得 x12x22y22 ) 0 ，41 ( y1所以 ( x1x2 )( x1x2 )y2 )( y1y2 ) 0.4当 x1x2 时，有 x1x21y2 )y1y20.( y1x1x24x x1x2 , 2并且yy1y2 ,将代入并整理得4x2+y2-y=02y1y1y2.xx1x2当 x1=x2 时，点 a、 b 的坐标为（ 0， 2）、（ 0， 2），这

5、时点p 的坐标为x2( y1) 2（ 0， 0）也满足，所以点p 的轨迹方程为21.11164（ 2）由点 p 的轨迹方程知x 21 ,即1x1 . 所以1644| np |2( x1 ) 2( y1)2(x1) 214x23(x1 )272224612故当 x1， | np | 取得最小值，最小值为1 ;44当 x1时， | np |取得最大值，最大值为21 .66 高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。第2页共10页【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（ 1）结合定

6、义利用图形中几何量之间的大小关系；（ 2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组） ，通过解不等式组得出参数的变化范围；（ 3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（ 4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（ 5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如

7、最值、范围等问题；（ 6）构造一个二次方程，利用判别式0。 突破重难点【范例 1】已知动点 p 与双曲线 x2y21的两个焦点 f1、f2 的距离之和为定值，123且 cos f 12的最小值为pf9（）求动点p 的轨迹方程；（）若已知d(0,3) ，m、n 在动点 p 的轨迹上且 dmdn ，求实数的取值范围讲解( )由题意 c2125 ），由余弦定理 , 得=5设 |pf |+|pf|= 2a（ acos| pf1 |2| pf2 |2| f1 f2 |22a2101f1 pf22 | pf1 | | pf2| pf1 | | pf2 |又| pf1| | pf2| 22，pf1| pf2

8、 |(2)a当且仅当 |pf 1|=|pf 2|时， |pf 1|?|pf 2|取最大值，此时 cosf 1pf2 取最小值2a 2101，令 2a 21011 ，a 2a 29解得 a2=9，c5 ， b2=4，故所求 p 的轨迹方程为x2y 291.4（）设 n(s,t)， m(x,y)，则由 dmdn ，可得 (x，y- 3) = (s，t -3)，故 x= s，y= 3+ (t-3). m、 n 在动点 p 的轨迹上，s2t 21 且 ( s) 2( t 3 3 )21 ，9494消去 s 可得( t 3 3 ) 22 t2213541，解得 t，6第3页共10页又 |t| 2， |

9、135 | 2，解得 15 ，65故实数的取值范围是 1,5 5【点晴】 为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等【文】已知点 m( -2，0)，n(2,0) ，动点 p 满足条件 | pm | pn | 2 2 .记动点 p 的轨迹为 w.（）求 w 的方程；（）若 a， b 是 w 上的不同两点， o 是坐标原点，求oa ob 的最小值 .解：（）依题意，点p 的轨迹是以 m， n 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x2 y21 （ x 0）22（）当直线ab 的斜率不存在时，设直线ab 的方程为 x x0，此

10、时 a（x0， x 022 ）， b（ x0， x 022 ）， oa ob 2当直线 ab 的斜率存在时，设直线ab 的方程为 ykx b，x2y2代入双曲线方程1 中，得： (1 k2)x2 2kbx b2 2 022依题意可知方程 1有两个不相等的正数根，设a(x1,y1),b(x2 ,y2)，则4k 2b24(1k 2 ) ? (b22) 02kb0解得 |k|1，x1 x2k21b22x1x20k 21又 oa ob x1x2y1y2 x1x2（ kx1 b）（ kx2 b）（ 1 k2） x1x2 kb（x1x2） b22k2224k212k 21综上可知 oa ob 的最小值为

11、2【范例2】给定点x2y21 上的动点， f 是右焦点，当a(-2,2)，已知 b 是椭圆165 bf 取得最小值时，试求25abb 点的坐标。335 bf1 bf ，而1 bf 为动点 b解析：因为椭圆的e，所以 abab53ee到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点b，使得它到 a 点和左准线的距离之和最小，过点b 作 l 的垂线，垂点为 n，过 a 作此准线的垂线，垂点为m，由椭圆定义| bf |e | bn | bf |5| bn |e| bf |3第4页共10页于是 ab5bf | ab | | bn | | an | am 为定值3其中，当且仅当b 点 am 与椭圆的定点时等

12、点成立，此时b 为 ( 5 3 , 2)2所以，当 ab5bf 取得最小值时， b 点坐标为 (5 3 ,2)32【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。【文】 点 a（3，2）为定点， 点 f 是抛物线 y2=4 x 的焦点，点 p 在抛物线 y2=4x 上移动，若 |pa|+|pf| 取得最小值，求点 p 的坐标。解：抛物线y2=4 x 的准线方程为x= -1，设 p 到准线的距离为 d，则 |pa|+|pf| =|pa|+d。要使 |pa|+|pf| 取得最小值，由图 3 可知过 a 点的直线与准线垂直时， |pa|+|p

13、f| 取得最小值， 把 y= 2 代入 y2=4x，得 p（1， 2）。yadpofxx=1【范例3】已知 p 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动， q图 3点在椭圆 x2y21上移动 ,试求 |pq| 的最大值。9解：故先让 q 点在椭圆上固定，显然当pq 通过圆心 o1 时 |pq| 最大，因此要求 |pq|的最大值，只要求|o1 q|的最大值 .设 q(x， y)，则 |o1q|2= x2+(y-4)2因 q 在椭圆上 ,则 x2=9(1 -y2 )12将代入得 |o1 q|2= 9(1-y2)+(y-4)28 y272因为 q 在椭圆上移动，所以- 1 y 1，故当 y1时， oq

14、1 max3 32此时 pqmax3 3 1【点晴 】 1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。【文】 设 p 是椭圆 x2y21 a 1短轴的一个端点， q 为椭圆上的一个动点，a2求 |pq|的最大值。解 : 依题意可设 p(0,1), q(x,y),则 |pq |= x2+(y 1)2 ,又因为 q 在椭圆上 , 所以 x2=a2(1 y2) , |pq |2= a2(1 y2)+y2 2y+1=(1 a2)y2 2y+1+a2=(1 a2 )(y1)21

15、22+1+ a2 .1 a1a11a2 a2 1因为 |y| 1,a1, 若 a 2,则 |1 a2| 1,当 y=1 a2时 , |pq|取最大值a21;第5页共10页若 1a0，所以10m10 。10已知 a（ 2，0），b（ 2，0），动点 p 与 a、b 两点连线的斜率分别为kpa 和 kpb，且满足 kpa?kpb=t (t0且 t 1).（）求动点p 的轨迹 c 的方程；（）当 t0 时，曲线 c 的两焦点为 f1，f2，若曲线 c 上存在点 q 使得 f1qf 2=120 o，求 t 的取值范围解： ( )设点 p 坐标为 (x,y),依题意得yy=ty2=t(x2 4)x2x2

16、x2+y 2=1 ，轨迹 c 的方程为 x 2+y 2=1 （ x2） .44t44t( ) 当 1 t 0时，曲线 c 为焦点在 x 轴上的椭圆，设 |pf 1|=r1， |pf 2|=r2,则 r1+ r 2=2a=4.在 f 12中， |f1212o ，由余弦定理得pff |=2c=4 1 t, f pf =1204c2=r 12 +r 22 2r1 r2cos120 = r 12 +r 22 + r 1r 2= (r 1+r2)2r 1r 2(r1+r2) 2 ( r1r2 )2=3a2, t 12 16（ 1+t） 12,.14所以当t 0 时，曲线上存在点q 使 f 1qf 2=120 o4当 t 1 时，曲线 c 为焦点在 y 轴上的椭圆，设 |pf 1|=r122则 r1+ r2=2a= -4t,，|pf|=r ,在