高三数学教案指数与对数

1、（数学专题六） 指数与对数佛山一中 李向明一、内容提要指数丞数和对数至数的增减性由于受到底是否大于1 的影响，往往须要分类讨，所以，这类问题是培养、也是考查考生分类讨论能力的一个很好的载体；解对表方程要求验报，那只对含有参数的方程的根的讨论如果不考虑相应的问题就容易造成错误。本专题除了复习一般的指数对数问题以外，将主要围绕上述这些问题展开，帮助考生进一步认识这些问题，并掌握解决这些问题的方法。二、典型例题例 1、已知 n n， n1 ，比较 log n (n1) 与 log 1 (n2)的大小。n解： log n (nn 1n1n2，1) = log n (n *) = 1log nn1+ 1

2、 log1nnlog ( n 1)( n 2)n2log (n 1)n2n2= log (n 1) ( n 1) * = 1n而 log (n 1)n log (n 1) (n 2)n111（ n n， n1）log( n1)log (n 1) ( n2) 。u例 2、求至数1|1x| | x 3|y的单调区间。24解：设u | 1 x | x 3 |，则当 x-1 时， u=-2x+2；当 -1x0，a 1， t0，试比较1 log a t与 log a t1的大小。22解：设 m log at 11 log a tlog at1=log a 1( t1 )222t2t（ 1）当 t=1 时

3、，mlog 1 0，logt11 logta22a 。第1页共 4页（ 2）当 t1 时，由平均值不变式，有1 ( t1 ) 1 于是2t（ 2.1）当 a1 时， mlog a 10 log a t 11 loga t22（ 2.2）当 0abc0，求证 a 2a * b 2b * c2 ca bc * b c a * c a b。证明：a 2a * b 2b * c2 ca2 a bc * b2b ca * c2 c a b = aa bbb ccc aab c * bc a * c a bb* c*a用差比较法是“与 0 比较”，用商比较法则是“与1 比较”；用商比较法还要注意作为分母的

4、那个式子的符号， 如本例中 a b 1 * b ca * c ab0 是必须声明的， 若小于 0，则要改变不等号方向。例 5、关于 x 的方程 ( x1)log 4a log 1 (3x) 有解，求实数 a 的取值范围。2log 2 alog 2 (3x)即 log 2 ( x1)log 2 (3x)1log2a解：原方程即 log 2 ( x 1)212变形为 log 2 ( x1) * (3x)log 2a故有 x24x 3a0由 =164(3a) 44 a 0得 |a|1即-1a1，此时，方程的两根为444 a21ax1, 22符号 1x1,2 3 要求，所求的 a 的取值范围是 0a1

5、。0 a1 后，忽视了“此对” 之说明：1 解此题的一个潜在的错误是在第一次得到后的一段讨论。我们知道，因为解对数方程时，常常针用到非等价变形，所以，第2页共 4页解对数方程要求有验根的步骤，这里的一段时讨论起的就是“验根”的作用。忽视了就可能导致错误（见练习 10）。2、本例在解到式后。还可采用数形结合法继续：设y1x24x3, y2a在同一直角坐极系的内画出它们的国象，由图可见，当且仅当 a=1 时，方程有一解： x=2，符合 1x3；当 0a2，求证：log a (a1) * log a ( a 1)1证明： a2,log a (a1)0, log a (a1)0且 log a (a1)

6、log a (a1)1y2a log a (a1) * log a (a1)log a (a 1) log a ( a1)21 log a1 log a a 2(a 21)1012322y1x 24xlog a (a1) * log a ( a 1)1。说明：两个时数和积、 商往往不好处理， 但两个同底的对数的和、 差却较易处量。这里利用了平均值不等式巧妙地把积的问题较化为和的问题，值及借鉴。三、巩固练习1、已知 1ab0，a 1，x0，y0 时，比较log a * log a 与log axyyx6、若 ab0，求证： a a* bba b * ba7、设 0x0，a1, 比较 | log

7、a (1x) | 与 | log a (1x) | 的大小。8、讨论丞数 f ( x)a|x| |x1| (a0) 的单调区间。第3页共 4页9、求证： lg 99 * lg 101 410、设 ar，讨论关于 x 的方程 lg( x 1)lg(3x) lg( ax)的实数解的数目。四、练习答案或提示：、 logaalogbbloga logb 。 、（ ，。 、 xlg 3。 、 x25。1baba20 13lg 3lg 249y5、 log a1 log a 1log ax * log ay 。 6、提示：用商比较法。xyyx7、 | log a (1 x) | | log a (1x) | 。提示：差比较法和商比较法均可。8、当 0a1 时，在 (,0) 上丞数是减丞数，在 0，1）上丞数是常数丞数，在 1,丞数是增丞数。 9、提示：lg 99* lg101lg 99 lg 101lg 99 * 101lg 9999lg 100004222222x110、提示：先确定范围x3，并把方程变形为 ( x 1)(3x)a x，xa即 x24x 3xa 画出 yx2