高二数学教案：7.3两条直线的位置关系(四)

1、课题： 7.3 两条直线的位置关系（四）点到直线的距离公式教学目的：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞3.认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞教学重点：点到直线的距离公式王新敞教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.授课类型：新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞内容分析：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点p 到

2、直线 l 的距离 .在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力.在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞教学过程：一、复习引入：1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直 王新敞

3、2斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1 / l 2k1 = k2 且 b1b2已知直线 l1 、 l 2 的方程为 l1 ： a1 xb1 yc10，l 2 ： a2 xb2 y c 20 ( a1 b1c10, a2 b2c20)a1b1c1l1l 2的充要条件是a2b2c 2王新敞两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1 和 k2 ，则这两条直线垂直的充要条件是 k1 k 21 已知直线 l1 和 l 2 的一般式方程为l1 ： a1 xb1 yc10 ，第 1页共 6页l 2 ： a2

4、 xb2 y c 2 0 ，则 l1 l2a1 a2 b1 b2 03.直线 l1 到 l2 的角的定义及公式：直线 l1 按逆时针方向旋转到与l 2 重合时所转的角 ,叫做 l1 到 l 2 的角 .l1 到 l2的角： 01 k1 k20,即 k1k21,则.k 2k11 k1k20 ，tank2 k1 王新敞1 0， 如果2如果14直线 l1 与 l 2 的夹角定义及公式:l1 到 l 2 的角是1 , l 2 到 l1 的角是 - 1 ,当 l1 与 l 2 相交但不垂直时,1 和 - 1 仅有一个角是锐角 ,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线 l1 l 2 时 ,直线 l1 与

5、 l 2 的夹角是2 .夹角：0 1 k1k2 0,即 k1k 21, 则.1 k1 k20 ， 90 . 如 果2 如 果k2k1tan1 k2 k1 王新敞.5两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：a1 xb1 yc10a2 xb2 yc20 是否有惟一解 王新敞二、讲解新课：1点到直线距离公式：ax0by0 cd点 p(x0 , y0 ) 到直线 l : axby c 0 的距离为：a2b2王新敞（ 1）提出问题在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 如 果 已 知 某 点 p 的 坐 标 为 (x0 , y0 ) ， 直 线 l的 方 程 是l

6、: axby c0，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点p 到直线 l的距离呢 ?（2）解决方案方案一：根据定义，点p 到直线 l 的距离 d 是点 p 到直线 l 的垂线段的长 .设点 p 到直线 l的垂线段为 pq，垂足为 q，由 pq l 可yrdp(x0,y0)qosx第 2页共 6页lb知，直线 pq 的斜率为 a （ a 0），根据点斜式写出直线pq的方程，并由 l 与 pq 的方程求出点 q 的坐标；由此根据两点距离公式求出pq，得到点 p 到直线 l 的距离为 d王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法王新敞方案二：设a 0， b 0，这时 l 与 x 轴、 y

7、 轴都相交，过点 p 作 x 轴的平行线，交l 于点r( x1 , y0 ) ；作 y 轴的平行线，交l 于点 s( x0 , y2 ) ，a1 x1by0c0x1by0cax0c由 ax0by2c0得a, y2b.ax0by0c所以， px0x1aax0by0cpsy0y2bpr2ps2a2b 2ab ax0by 0c 由三角形面积公式可知： sd s p ps王新敞dax0by0ca2b 2所以可证明，当 a0 或 b 0 时，以上公式仍适用王新敞2两平行线间的距离公式已知两条平行线直线l1 和 l2 的一般式方程为l1 ： axbyc1 0 ，dc1c2l 2 ： axby c20 ，则

8、 l1 与 l 2 的距离为a2b 2王新敞证明：设 p0 (x0 , y0 ) 是直线 axbyc 20上任一点， 则点 p0 到直线 axby c10 的dax0by0c1a2b 2距离为王新敞又 ax 0by0c 20c1c2即 ax0by0c 2 ， da2b 2王新敞第 3页共 6页三、讲解范例：例 1 求点 p0 (1,2) 到下列直线的距离 .(1) 2x y 100 ； (2) 3x2 王新敞2(1)2 10d2 2122 5解： (1)根据点到直线的距离公式得d2(5(2)因为直线 3x2 平行于 y|1) |轴，所以33王新敞评述：此例题 (1)直接应用了点到直线的距离公式

9、，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.例 2 求两平行线l1 ： 2x3y 80 ， l 2 ： 2x3 y10 0 的距离 .解法一：在直线l1 上取一点p(，0），因为 l 1 l 2 ，所以点 p 到 l 2 的距离等于 l1 与 l 2 的距2430102213d离.于是2 2321313解法二： l1 l 2 又 c18,c210 .d8 (10)23223213由两平行线间的距离公式得王新敞四、课堂练习：课本 p53 练习1.求原点到下列直线的距离：(1)3 x 2 y 26 0； (2)x y 王新敞d262 13322 2解： (1).(2)原

10、点在直线 y x 上， d 0王新敞2.求下列点到直线的距离：(1)a（ 2，3 ）， 3 x y 3 0；(2)b（1， 0），3x y 3 0；(3)c（1， 2）， x 3 y 0.3(2)43 3933d0;d3242;(3) 2解： (1)51(2)第 4页共 6页4 1 3( 2)2d325(3)42王新敞3.求下列两条平行线的距离：(1)2 x 3 y 0，2 x 3 y 1 0，(2)3 x y 10， 3 x y 0.解： (1)在直线 2 x 3 y 0 上取一点p（， 0），则点 p 到直线 2 x 3 y 1的距离2418132就是两平行线的距离，d2 232王新敞(2

11、)在直线 3 x y 0 上取一点o（0， 0），则点 o 到直线 3 x y 10 的距离就是两10d平行线的距离，3242 2王新敞五、小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式王新敞六、课后作业：课本 p53 习题 7.313.求点 p( 5，7）到直线12 x 5 y 3 0 的距离 .d12(5)573 281225213 王新敞解：14.已知点 a（ a ， 6）到直线 3 x y 2 的距离 d 取下列各值，求a 的值：(1)d，（ 2）d 王新敞d3a4624632(4) 2解： (1)，解得 a 2或 a 3王新敞3a46246d32(4) 2(2)，解得 a 2 或 a 3 王新敞15.已知两条平行线直线l1 和 l 2 的一般式方程为l1 ： axbyc10 ，c1c2dl 2 ： axbyc20 ，则 l1 与 l 2 的距离为a2b 2王新敞证明：设p0 (x0, y0 )是直线ax by c 2 0上任一点， 则点p0 到直线ax by c10的第 5页共 6页dax0by0 c1a2b 2距离为王新敞又 ax 0by0c 20c1