2011届高考数学单元总复习课件34

1、第三节 圆的方程,基础梳理,1. 圆的标准方程 （1）方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为 ,半径为 r 的圆的标准方程. （2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 .,2. 圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+ )2+(y+ )2= .故有：（1）当D2+E2-4F0时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆;,(a,b),x2+y2=r2,3. 点与圆的位置关系 对于平面上的任意一点M(x0,y0)和一个圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2, 点M与圆C的位置关系及判断方法如下： （1）点M在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r

2、2; (2)点M在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (3)点M在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2.,4. 求圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：,（2）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(- ,- ); (3)当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形.,典例分析,题型一 求圆的方程,【例1】求过两点A(1,4)、B（3，2）且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.,分析 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标与圆的半径的大小;而要判断点P与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系.若距离大于半径，则点

3、在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.,（1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D，E，F的方程组； （3）解出a，b，r或D，E，F,代入标准方程或一般方程.,（1-a)2+16=r2， a=-1, (3-a)2+4=r2， 解得 r2=20. 所求圆的方程为（x+1)2+y2=20. 方法二：设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆心在x轴上，则 =0,即E=0.又圆过A（1,4）和B（3,2），所以 D+17+F=0, 解得 D=2, 3D+13+F=0, E=0, F=-19. 所以圆的方程为x2+y2+2x-19=

4、0.,解 方法一：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆心在y=0上，b=0,圆的方程为(x-a)2+y2=r2. 又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点,方法三：因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段 AB的垂直平分线l上.又因为kAB= =-1,故l的斜率为1. 又AB的中点为（2，3）， 故AB的垂直平分线l的方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0. 又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为(-1,0), 所以半径r=AC= . 故所求圆的方程为（x+1)2+y2=20. 又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为 d=PC= =5r,所以点P在圆外.

5、,学后反思 （1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其 中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是 结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几 何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几 何问题中，能用上平面几何知识，会使解题变得相对简单. (2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的 量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定 点与圆的位置关系.,举一反三 1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.,解析: 因为圆经过点A(5,2),B(3,2),所以圆心在x=4上;又圆心在2x-y-3

6、=0上，所以可得圆心为（4，5）. 可设圆的方程为 ,又圆过B(3,2)， 所以 ,即r2=10. 故圆的方程为,题型二 与圆有关的参数问题,【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点A(1,2),要使过定点A的圆的切线有两条.求实数a的取值范围.,分析 (1)方程表示圆，则D2+E2-4F0,即a2+4-4a20. (2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外. 解 已知x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆， 则应满足a2+4-4a20,即4-3a20, 又A应在圆外，有12+22+a+22+a20,即 a2+a+90, 由,得- a . 故a的取值

7、范围是(- , ).,学后反思 （1）一般地，方程表示圆隐含着条件D2+E2-4F0， 此点易被忽视. （2）点(x0,y0)在x2+y2+Dx+Ey+F=0外，x02+y02+Dx0+Ey0+F0.,答案： -3,举一反三 2. (2009福州模拟)圆 与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若APB=90,则实数c=.,解析： 圆的方程可化为 ,5-c0. P(2,-1),又APB=90,PA=PB, 2=PBsin 45, PB=22. 5-c=8,c=-3.,题型三 与圆有关的最值问题,【例3】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求 的最大值和最小值； （2）求y-x的最

8、大值和最小值； （3）求x2+y2的最大值和最小值.,解 原方程可化为（x-2）2+y2=3,表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆.,分析 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.,（1） 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设 =k,即 y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此 时 ,解得k= .(如图1） 所以yx的最大值为 ,最小值为- . (2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ,解得b=-2 .（如图2） 所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .,(3)x2+y2表

9、示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识 知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. （如图3） 又圆心到的原点的距离为 . 所以x2+y2的最大值是（2+ ）2=7+4 , x2+y2的最小值是（2- ）2=7-4,学后反思 （1）本例中利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解决，这是数形巧妙结合的好处. （2）本例的解题关键在于能否抓住“数”中的某些结构特征，从而联想到解析几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数”的几何意义，实现由“数”到“形”的转化.,(3)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： 形如=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

10、形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； 形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.,举一反三,3.已知圆C：（x-3）2+(y-4)2=1,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点，求d=PA2+PB2的最大值、最小值及对应的点P坐标.,解析 设P(x0,y0),则d=PA2+PB2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02 =2(x02+y02)+2.欲求d的最值，只需求=x02+y02的最值，即求圆 C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆 的两个交点P1，P2即为所求. 设过O,C两点的

11、直线交圆C于P1，P2两点，易知OC所在直线方程 为y= x，则min=(OC-1)2=16=OP12, 此时dmin=216+2=34,并易得P1( ); max=(OC+1)2=36=OP22, 此时dmax=236+2=74,并易得P2( ).,题型四 圆的方程的实际应用 【例4】(14分）在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将受台风影响？持续多长时间？,分析 几小时后气象台所在地受到台风影响，就是指以台风中心为圆心的圆何时开始经过该城市，持续多长时间

12、即为台风圆何时离开.建立直角坐标系，用时间变量t表示出B点坐标，进而求解.,解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.根据题意可知,t小时后，B的坐标为 （-300+40tcos 45,40tsin 45）,(300+202t,202t）.3 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受台风影响，所以气象台A在圆上或圆内时，将受台风影响. 所以令AB250,即（-300+202t2+(202t)22502,.7 整理得16t2-1202t+2750,.10 解得152-574t152+

13、574.12 故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.14,学后反思 在解决有关实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.,举一反三 4. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在的方程的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？,解析: 如图，以A、B所

14、在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.AB=10, A(-5,0),B(5,0). 设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里). 当由P地到A、B两地购物费用相等时，即价格+A地运费=价格+B地运费， 化简整理，得 (1)当P点在以 ,0为圆心、154为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等，此时到A地或B地购物均可.,（2）当P点在上述圆内时， .此时到A地购物合算. （3）当P点在上述圆外时， .此时到B地购物合算.,考点演练,10. (2009天津)若圆 与圆 （a0）的公共弦的长为 ,求a的值.,解析： 易知 的半径为 ，画图可知 ,解得a=1.,11. （2010济南模拟）两圆 和 相交于PQ两点，若点P的坐标是(1,2),求点Q的坐标.,解析： 由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为 (-1,1),(2,-2),则过它们圆心的直线方程为 ,即y=-x，根据