【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 11.3相互独立事件同时发生的概率配套课件 理 新人教A版

1、第三节 相互独立事件同时发生的概率,三年12考 高考指数: 1.了解相互独立事件的意义. 2.会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 3.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.,1.独立事件的概率的求法是高考重点考查的类型，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现 2.常常以实际问题为背景，与等可能事件、互斥事件的概率问题结合在一起形成知识交汇性题目.,1.相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件的概念 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率_， 这样的两个事件叫做相互独立事件,没有影响,(2)概率计算公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于_ _，即P

2、(AB)_ 推广：如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时 发生的概率，等于_， 即P(A1A2An)_,每个事件发生的概,率的积,P(A)P(B),每个事件发生的概率的积,P(A1)P(A2)P(An),【即时应用】 (1)思考：互斥事件与相互独立事件的区别在哪里？ 提示：互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系，但互斥的两个事件是一次试验中的两个事件，而相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别,(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件：(在题后的括号内填“是”或“否”) 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从

3、甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； ( ) 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球” ( ),【解析】“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件,“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 若 这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的 还是白球”的概率为 若前一事件没有发生，则后一事件发 生的概率为 可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概 率有影响，所以二者不是相互独立事件 答案：是 否,(3)某人射

4、击一次命中的概率是0.9，射击两次，互不影响，至 少命中一次的概率是_. 【解析】方法一：至少命中一次的概率是0.90.90.90.9 0.99. 方法二：至少命中一次的概率是10.10.10.99. 答案：0.99,2.独立重复试验 (1)定义 若n次重复试验，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的 (2)概率计算公式 如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为 Pn(k)=_.,【即时应用】 (1)某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过三次射击,此人有 两次击中目标的概率为_. (2)某企业正常用水(24小时

5、用水不超过一定量)的概率为 则5天内至少4天正常用水的概率为_.,【解析】(1)三次射击相当于三次独立重复试验,因此所求概率 P= (2)P= 答案：,相互独立事件的概率问题 【方法点睛】 在解决相互独立事件的概率问题时应注意的几个关键点 利用概率加法公式、减法公式(对立事件的概率)、乘法公式进行相关事件的概率计算时,要注意区分一些容易混淆的概念,如“对立事件”与“互斥事件”,“互斥事件”与“相互独立事件”等,要弄清一些关键字词的差异，如“恰有”“至少”“至多”“都”“或”等.,【例1】(1)甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么恰好有1人解决

6、这个问题的概率是 ( ) (A)P1P2 (B)P1(1-P2)+P2(1-P1) (C)1-P1P2 (D)1-(1-P1)(1-P2),(2)某自助银行共有四台ATM机,在某一时刻A,B,C,D 四台ATM机 被占用的概率分别为 如果某客户只能使用四台ATM机中的A或B,求该客户需要等待 的概率; 求至多有三台ATM机被占用的概率; 求恰有两台ATM机被占用的概率.,【解题指南】(1)甲、乙两人能否解决这个问题是相互独立的，故应用独立事件的概率计算公式来解决. (2)由题意知,四台ATM机是否被占用是相互独立的,故应用独立事件的概率计算公式来解决问题.,【规范解答】(1)选B.甲、乙两人能

7、否解决这个问题是相互独立的，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，则甲解决不出来这个问题的概率是1P1，乙解决不出来这个问题的概率是1P2，所以恰好有1人解决这个问题的概率是：P1(1P2)P2(1P1),(2)设“如果某客户只能使用四台ATM机中的A或B，则该客户 需要等待”为事件M，则 设“至多有三台ATM机被占用”为事件N，则 设“恰有两台ATM机被占用”为事件S，则,【互动探究】对于本例(2)，如果同时有两名用户来取款,且可以使用其中任何一台ATM机取款,求这两名用户均不需等待的概率.,【解析】这四台ATM机均被占用的概率为 这四台ATM机仅有一台不被占用的概率为 所

8、以至少有两台ATM机不被占用的概率为 即这两名用户均不需等待的概率为,【反思感悟】1.求相互独立事件同时发生的概率的方法： (1)利用相互独立事件的概率乘法公式； (2)正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算 2.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立.,【变式备选】甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概 率是 甲、乙、丙三人都做对的概率是 甲、乙、丙三人全 做错的概率是 (1)分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙中恰有一人做对这道题的概率.,【解析】(1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事

9、件A， B，C，则P(A) 根据题意得 解得 乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为,(2)设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D， 当 时，有 当 时，同理可得 甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为,与独立重复试验有关的概率问题 【方法点睛】 独立重复试验满足的条件 (1)每次试验在同样条件下可重复进行; (2)每次试验之间相互独立; (3)每次试验都只有两种结果(即某种事件要么发生,要么不发生); (4)在任何一次试验中,事件发生的概率均相等.,【提醒】当问题中含有“恰好”“恰有”等字眼时,往往应用 公式 求解概率.注意与“n次独立重复试验某 k次发生”的区别.(前者有系数

10、,后者没有).,【例2】(2012柳州模拟)某人抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正、反面的概率都是 构造数列an，使an 记Sn=a1+a2+an，nN*. (1)求S82时的概率； (2)求S20且S82时的概率,【解题指南】“S82”表示投掷8次硬币，出现了5次正面3次反面，理解这一点是解题的关键.,【规范解答】(1)S82，8次中有5次正面3次反面，其概率 是 (2)S20即前2次出现2次正面或2次反面当前2次为正面时后6 次3次正面3次反面，其概率是 当前两次为反面时，要使S82需后6次出现5次正面1次反面， 其概率是 则当S20且S82时的概率,【反思感悟】n次独立重复试验的概率公式与二

11、项式定理的 关系： (1)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 k=0,1,2,n,其中P是一次试验中该事件 发生的概率.实际上， 正好是二项式(1-P)+Pn的展 开式中的第k+1项.,(2)根据n次独立重复试验的概率公式与二项式定理的内在联系，设置该类综合问题，较好地体现了“掌握二项式定理，并能用它们计算一些简单的问题”的考纲要求在今后的高考中，要关注独立重复试验问题与二项式定理的关系，在正确进行概率计算的同时，学会用其他数学知识解决概率问题，提高自身的综合解题能力,【变式训练】在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥 上游漂流而下的一个巨大的汽油罐已知只有5发子弹，第一 次

12、命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆每次射击是相 互独立的，且命中的概率都是 (1)求汽油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子弹打光则停止，求射击次数不小于4的概率,【解析】每次射击是相互独立的，所以可考虑用n次独立重复 试验的概率公式进行计算 (1)汽油罐被引爆的对立事件为汽油罐没有被引爆，没有被引 爆的可能情况是：射击5次只击中1次或1次也没有击中，故其 概率为 所以汽油罐被引爆的概率为,(2)射击次数不小于4的事件包括射击4次引爆汽油罐(第4次必须 击中)和射击5次(前4次至多击中一次，无需考虑第5次是否击 中) 记射击4次引爆汽油罐为事件A，因为第4次必须击中，所以前3 次中必有一次

13、击中，相当于3次独立重复试验中有1次发生，故,记射击5次为事件B，意味着前4次射击中只击中一次或一次也 未击中，相当于4次独立重复试验中有1次或0次发生，故 事件A与事件B是互斥事件， P(AB)P(A)P(B) 因此，射击次数不小于4的概率为,相互独立事件与互斥事件的综合应用 【方法点睛】 求概率时，需注意的几个问题 (1)首先要分清概率模型(等可能事件、互斥事件、独立事件)； (2)利用直接法还是间接法(利用对立事件)来求；,(3)要善于将一个复杂事件的概率转化为几个简单互斥事件概率的和； (4)注意一些字眼的意义：“至少一个发生”“至多一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”等,

14、【例3】(1)接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5 人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为_ (精确到0.01) (2)设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 ，且各 次射击相互独立 若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； 若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率,【解题指南】(1)至少有3人出现发热反应包含3个人出现发热反应、4个人出现发热反应、5个人出现发热反应三个互斥事件. (2)甲、乙射击为相互独立事件，应用P(AB)= P(A)P(B) 求概率；甲、乙命中次数相等包含两人都命中0次、两人都命中1次、两人都命中2次三个互斥事件,【规范解答】(

15、1)设出现发热反应的人数为： P0.204 80.409 60.327 680.942 080.94. 答案：0.94,(2)设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且 从而甲命中但乙未命中目标的概率为,设Ak表示甲在两次射击中恰好命中k次， Bl表示乙在两次射击中恰好命中l次 依题意，有 由独立性知两人命中次数相等的概率为 P(A0B0)P(A1B1)P(A2B2) P(A0)P(B0)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2),【互动探究】在本例(2)中，若条件不变，甲、乙各射击两次，求甲命中目标的次数比乙多的概率？,【解析】设Ak表示甲在两次射击中恰好命中k次， Bl表示乙

16、在两次射击中恰好命中l次 依题意，有 由独立性知甲命中目标的次数比乙多的概率为 P(A1B0)P(A2B0)P(A2B1) P(A1)P(B0)P(A2)P(B0)P(A2)P(B1),【反思感悟】已知两个事件A、B，那么： (1)A、B中至少有一个发生为事件 (2)A、B都发生为事件AB； (3)A、B都不发生为事件 (4)A、B恰有一个发生为事件 (5)A、B至多有一个发生为事件,【变式备选】某单位6位员工借助互联网开展工作，每位员工上网的概率都是0.5(相互独立) (1)求至少三人同时上网的概率； (2)至少几人同时上网的概率小于0.3?,【解析】(1)至少3人同时上网的概率等于1减去至

17、多2人同时上 网的概率，即 (2)至少4人同时上网的概率为 至少5人同时上网的概率为 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.,【满分指导】独立事件主观题的规范解答 【典例】(12分)(2012北海模拟)某地区试行高考考试改革:在 高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获 得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学 生最多也只能参加5次测试.规定:若前4次都没有通过测试,则第 5次不能参加测试.假设某学生每次通过测试的概率都是 每次 测试通过与否相互独立.,(1)求该学生恰好经过4次测试考上大学的概率; (2)求该学生考上大学的概率. 【解题指南】由于每次通过测

18、试的概率相等,所以考虑应用独立重复试验的概率公式求解.,【规范解答】(1)记“该学生恰好经过4次测试考上大学”为事 件A,则 5分 (2)记“该学生考上大学”为事件B,其对立事件为 而学生没 有考上大学就是在前四次测试中有三次没有通过且第五次没有 通过或者前四次都没有通过，故 9分 所以 12分,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：,1.(2011湖北高考)如图，用K、A1、A2三 类不同的元件连成一个系统.当K正常工作 且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) (A)0.960 (B)0.864 (C)0.720 (D)0.576,【解析】选B. 方法一：由题意知K，A1，A2正常工作时的概率 分别为P(K)0.9，P(A1)0.8，P(A2)0.8，又K，A1，A2相 互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为 所以系统正常工作的概率为,方法二：因为A1，A2至少有一个正常工作的概率为 1(10.8)(10.8)0.9